【谢明初 肖飒】从拟经验主义到建构主义——拉卡托斯数学哲学观的影响
拉卡托斯是一名建构主义者。作为科学哲学家，拉卡托斯以其“科学研究纲领”闻名于世。作为数学哲学家，拉卡托斯反对形式主义学派，他并不强调数学的形式公理而是强调启发性，注重理论构建和概念化的历史过程。而作为建构主义者的拉卡托斯影响力则更为深远。
一、拟经验主义数学哲学观
拉卡托斯数学哲学观的主要内容是拟经验主义，或者说，拟经验主义是拉卡托斯提出的一种数学哲学。由于数学具有诸多不同于一般自然科学的特点，因此，数学和一般自然科学向来就被绝大多数人认为是两种性质不同的学科。自然科学是一种经验科学，这一点一般没有什么争议；但是对数学的性质究竟是经验的还是先验的这一问题，却一直争论不休：以穆勒为代表的传统经验主义认为，数学中的大部分命题都是所谓的“经验的一般化”，即是建立在对经验事实的直接归纳之上的。与经验论相反，先验论者则认为数学真理具有与生俱来的先验性，如康德所说的“先天综合判断”，数学的认识可以惟一依赖于直觉或概念的分析建立，而无需依赖感性经验或实践。
就基本立场来看，拉卡托斯倾向于数学经验论。但拉卡托斯同时又认为数学有着不同于一般经验科学的特殊性，彻底的经验论立场也不可取。于是，他的观点就必然是：数学是拟经验的。拟经验主义的数学哲学观主要特征在于肯定数学理论的真理性有待于后天的检验(从而肯定数学的非先验性)，同时又突出强调了检验数学研究的数学标准，即数学命题(理论)的真理性(或者说可接受性)主要取决于它的数学意义，而并非是它在社会实践中的成功应用(从而与一般自然科学相区别)[1](P112)。提摩次科对拉卡托斯的研究给予高度评价，认为拟经验主义代表了数学哲学的一个新方向[2](第xvi页)，拉卡托斯则认为拟经验主义代表着“近代数学哲学中经验主义的复兴”[3](P32～57)。拟经验主义从数学理论的性质、数学知识的发生和判定标准几个方面对数学哲学的基本问题做出回答，概括为以下5个方面：
第一，数学知识的可谬性(Fallibility)。拟经验主义认为数学是可谬的、可修正的。首先，任何企图为数学找到一个完美的、完全的基础的努力都必定导致一个“无穷回归”；其次，数学不存在一个最终的，充分严格的形式。拉卡托斯早期著作中明显表现出拒绝为数学寻找一个绝对的确定的基础，数学应该具有可谬性。这种拟经验主义数学哲学怀疑论的传统声称我们不能获得完全真实性的知识，即使我们获得了真实性的知识，我们也无法觉察得到。
第二，数学是假设—演绎的和拟经验的。拉卡托斯认为数学由一系列的假设性理论组成，而每种理论都试图导出对假设的证明。一个猜想C可能被包含在一个非形式的理论T和一个被构造的导出C的非形式证明(用TC来代表)之中。数学之所以是拟经验的，是因为存在一个逆转的谬子的流向，即从一个反驳的猜想到获得这个猜想的前提条件或假设。这里所强调的不是从前提到结论的真理性的传递，而是从伪结论到假设前提的证伪回传。
第三，对非形式数学的肯定。拉卡托斯拒绝把形式数学理论和证明看成具有哲学上的首要性。相反，他认为相对于形式数学而言，非形式数学具有首要性。形式数学理论是非形式数学理论的理性重建，在这个重建的过程中，数学知识发生的结构被抛弃了而只保留了证明的逻辑。拉卡托斯的目的是试图对数学知识的发生、数学知识的证明、数学知识的历史和逻辑结构给出一个清晰的描述。
第四，承认历史在数学哲学中具有中心地位。在回答“数学应该是一个什么样子的”、“数学知识以怎样的典型方式组织起来”这类问题失败之后，拉卡托斯意识到数学哲学应该从解释“数学知识何以可能”转到描述实际存在的数学知识，通过考察真实实践去发现实际进步的方法，正是这种方法导致了数学知识的增长。1961年拉卡托斯在波普尔1959年的研究基础之上第一次首先提出“历史重建”的概念，他声称哲学以历史学家重建“内部历史”的方式提供一个规范的方法论，从而为知识的增长提供了一个理性的解释。这一观点应用到数学学科就是：通过数学史的理性重建，可以把对一个特殊理论的解释强加在历史上，从而揭示出一个被简化了的科学知识增长逻辑。
第五，数学知识的发生理论。拉卡托斯提出的数学知识的产生理论可以表述为：给定一个数学问题(P)和一个非形式的数学理论(T)，在新知识产生的最初一步是提出一个猜想(C)，并进行证明或反驳，构建这个猜想的非形式证明并等待进一步批评，进而引出一个非形式的反驳。反驳的结果是，猜想(也可能是非形式理论和最初的问题)被修改并在新一轮的综合过程中，完成另一个循环。
数学知识发生理论构成了拉卡托斯数学哲学的实质。由于并没有研究个体头脑中公理、定义和猜想的起因，拟经验主义并不能被看成是公认的数学创造或发现的心理学理论。拉卡托斯认为知识发展的哲学理论与该理论的历史实现是不可分离的。可以说，拟经验主义数学观实际上就是将波普尔的证伪主义科学哲学理论推广应用到了数学的领域。这样，在严格的数学研究中，无论所涉及的对象是否具有明显的直观意义，我们都只能依据相应的定义和推理规则去进行演绎，而不能求助于先验直观。因此，在这样的意义上，数学的抽象事实上就是一种“建构”的活动——数学的研究对象就是通过这样的活动得到构造的。
二、从拟经验主义走向建构主义的知识论纲
拟经验主义部分地描述了数学知识的性质，特别是拟经验主义比传统的数学哲学更多的涉及到了数学知识的产生过程。这使得数学知识的基础性问题不仅仅是由纯粹的公理系统演绎所确立，而是走向一种超出数学本身、由人的创造性活动与公理系统相互作用的“发生建构论”。
对于数学知识的发生，拉卡托斯加进了一个新的、更下位的底层，即对传统的形式化的数学而言的非形式化的数学，他还给这一拓展的系统添加了一个动态机制，它表明了不仅底层知识是如何发展的，而且这两个层次的知识也存在着相互联系。特别是，他指出了底层知识是怎样从下而上，通过形式化的方法从而形成更高一层的理想化的知识。形式化的数学和非形式化的数学都被组织成这样的理论：在形式化阶段是定义良好的公理化的理论，在非形式化阶段则是交叉重叠的、更松散定义的理论，这是对数学知识的建构主义发生所作的最佳注释。P. Kitcher后来的“数学活动论”则发展成了一个典型的建构主义主张：认为数学应被看成是由“语言”、“方法”、“问题”、“命题”等多种成分所组成的一个复合体。数学不应简单地被等同于数学知识的汇集、而应被看成人类的一种创造性活动[4]。显然，这种关于数学的动态研究与以前单纯着眼于数学知识的逻辑结构的静态分析是大相径庭的。
由于拟经验主义的“可谬性”、“证伪”等特征，拉卡托斯关于数学知识发展的数学实践和数学史渊源的理论又走向了一种科学知识的“历史建构论”及“文化建构论”。
把数学视为拟经验的、植根于非形式理论的，这也就承认了超出数学以外的问题和因素对数学的影响。既然数学发现的逻辑适用于由数学问题而引发的猜想，而这种猜想既有内在的(数学的)又有外在的(科学和社会)的起源，因此，导出的概念、猜想、证明和理论有超出数学之外的渊源与应用就不足为奇了。由此，拉卡托斯提供了关于数学知识发展的精致化的理论，而这又潜在地归结到数学实践和数学史。而历史的现实是，每个数学家都必然是作为其时代的相应的社会共同体(或“科学/数学共同体”)中的一员从事研究活动，自觉地或不自觉地处在一定的数学传统之中。一种数学模式的最终建立也就取决于数学共同体的“判决”：只有为数学共同体一致接受的数学概念、方法、问题等才能成为真正的模式。这就进入了数学的文化—社会建构问题领域。
三、从建构主义视角看拟经验主义对数学哲学的影响
如何理解数学的建构主义特征？首先，数学抽象就其本质而言是一种建构的活动，数学对象正是通过这样的活动得到了建构；其次，这种建构活动具有清楚的形式特性：数学对象是借助于明确的定义得到建构的，而且，在严格的数学研究中，无论所涉及的对象是否具有明显的直观意义，我们都只能依据相应的定义和明确给出的规则去进行推理，而不能求助于直观。即使其“发明者”也只能客观地加以研究，而不能再任意地加以改变。这样，数学抽象的形式特性就实际地保证了数学对象由主观的“心智建构”(mental construction)向相对独立的“心智对象”(mental entity)的转化[5]；第三，数学建构活动具有典型的社会性质，特别是，个人的创造完全取决于相应的“数学共同体”的“判决”：只有为数学共同体所一致接受的数学概念以及方法、问题等才能真正成为数学的组成成分，从而，数学对象就不能被看成纯粹的个人建构，而是数学共同体的共同建构，正是由个体向群体的转移直接促成了数学对象由上述的“心智对象”向“客观对象”(objective entity)的进一步转化。拉卡托斯的拟经验主义正是从这种建构主义的角度对数学哲学产生巨大影响的。
拉卡托斯认为，就像归纳之于科学，演绎正是造成数学绝对主义的温床。演绎方法一开始便预设了一张公理、引理和定义的清单，接踵而至的是严密的定理和证明。按照这种体例，凡命题都真，凡推论都有效，于是数学成了一个永恒不变真理越来越多的集合，而背景被掩盖了，斗争被掩盖了，冒险被掩盖了，全部的来龙去脉都不见了，只剩下万无一失的结论。由此，建构主义汲取了拟经验主义的观点，认为数学知识是不断发展和变化着的，是易谬的，数学知识在证明与反驳中得到发展。主张用启发法来代替演绎法，用可谬性来替换绝对真理性，用证明与反驳来阐释数学发现的逻辑，并将知识的发展置于历史进程之中。
拉卡托斯的核心工作就是重新检视了数学证明的作用，并把它看成是数学发展过程中的本质成分。传统上，证明被视为形式数学中确定数学知识的方法，它构成确证知识的核心。拉卡托斯花了很大的篇幅去摒弃这种传统的观察，重新审视了证明对数学知识增长的作用。这是他希望建立描述式而不是处方式的方法论的数学哲学带来的结果。拉卡托斯还因为在数学哲学中对认识论的、历史的、方法论等因素的综合考查而做出特殊的贡献。拉卡托斯的研究被部分发展成一个数学的普遍理论，为历史、哲学、社会学、心理学、数学实践提供了借鉴。
拉卡托斯开启了通向数学哲学的跨学科的研究。这种研究使得数学哲学超越数学元理论传统范围，把注意力转到实际的数学活动，而后者则体现了20世纪后期数学哲学研究的特征[1](P11～14)。在拟经验主义的主张中，拉卡托斯拒绝那种为数学实践提供遥不可及的逻辑修饰而又避免实际遇上这种现象的数学哲学，使得数学史与数学哲学联系起来，这就体现了其数学哲学概念的独到之处。从历史主义来看数学哲学，不仅需要对这个领域进行重新评价，而且也迫使这个领域成为一个新的交叉学科，一个可能的结果就是打破了证明和发现的绝对界限。承认非形式数学和历史对于数学哲学的中心作用，形式数学与非形式数学、历史与数学哲学不能再处于长期的完全隔阂状态中。
拟经验主义数学哲学为数学概念、猜想、证明、理论的发展提出一个模式，并提到促进这种发展的各种因素。他表明：与以往对数学性质的陈述截然不同的是，数学创造在本质上不是一项孤立的活动，而是一个共同体的活动。这种观点如今在数学史学家中已经得到广泛的认同。在拉卡托斯看来，除了个人的工作之外，一个对话、协商的过程起到了本质上的作用。这一点恰好符合把数学推理和证明看成是起源于人际间的争辩的观点[6](P128)。把数学研究看成一个创造性的活动，并且强调个人的创造只有为“数学共同体”所接受时，才能最终实现由“主观的思维创造”向相对独立的“思维对象”的转化，这事实上反映了建构主义的对数学知识的看法。因此可进一步认为拟经验主义为建构主义的数学哲学的兴起奠定了基础[7](p44)。
四、从反基础主义立场看拟经验主义的革命性
基础主义，不管是传统的或现代的基础主义，都坚信存在着某种永恒不变的基础来为知识做保障。正如R.伯恩斯坦所界定的那样，所谓基础主义，是指这样一种信念：认为存在着或必须存在着某种我们在确定理性、知识、真理、实在、善和正义的性质的时候所能够最终诉诸的永恒的、非历史的基础或框架。而“哲学家的任务就是去发现这种基础是什么，并用强有力的理由去支持这种发现基础的要求”[8](P8)。在抛弃了传统的形而上学之后，20世纪的哲学家似乎并没有从根本上改变这种顽固性，他们从某种偏爱出发，以近乎武断的方式确定了自己的研究领域在本体论意义上的特权。声称从他们的起点出发就可以实现形而上学关于确定性的渴望与梦想。达米特曾经生动地描述过：尽管我们可以坦率地承认以往哲学家寻求“基础”的失败，但这并不能构成认为我们不能发现超越的哲学基础的充足理由[9](P87)。后现代哲学的主张，并非是要在原有的基础之后去寻找更加牢靠的基础，而是揭示出并不存在这样的基础，或者，把哲学作为探寻人类知识的真理性基础的知识论定位就根本是不得要领的。
这种状况在数学哲学领域内体现得尤为典型。拉卡托斯基于拟经验主义的建构主义数学哲学，其革命性在于两个方面：第一，在数学的认识论基础方面明确提出数学是一门准经验性或拟经验性科学。也就是说，究其认识论基础而言，数学的哲理性基础是一种拟经验。他说：“数学的逻辑理论与任何科学理论一样，是一种振奋人心的、复杂的思辨。它是一种经验主义的理论，只要没有表明它是假的，那么这种理论永远是猜测性的。”[10](P19)第二，在数学的真理性问题方面明确提出数学真理观应该是一种经验主义的真理观。由于数学是一种准经验或拟经验科学，因此既不可能为它找到一个绝对可靠的数学基础，也不可能为其找到一个永恒不变的真理标准。从数学哲学的基础层面提出了反基础主义的有力论证。
反对基础主义是对科学知识的本质主义的反抗，目的在于打破对知识的本质或基础形式的预设，这是走向建构主义的前提。所以，建构主义同后现代哲学反形而上学、反本质主义、反基础主义的总体趋势是联系在一起的。建构主义的目的就是将人们从对“基础”的沉迷中解放出来、从各种形式的隐形的物自体的思维方式中解放出来。传统知识论及形而上学的主要特征是假定存在一个有序的世界，而人对世界的认识就是对这种秩序的把握，人通过对理性的运用显现为知识性规则及知识的真理性。西方后现代哲学中的反基础主义思潮所反对的，恰恰是这种对独立基础的预设以及对人的理性能力的预设。
对于数学知识的发生，维特根斯坦曾说：“如果你要求一种可以导出这里不可能算错的规则，回答是：我们不是通过一种规则而是凭着学会计算来知道这一点的。”“人们就是这样计算的。计算就是这样的。这就是我们(比如说)在学校学会的东西。忘掉这种超验的确实性吧，因为它同你关于精神的概念关联在一起”[11](P9)。
【参考文献】
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[2]Tymoczko, T. New Directions in the philosophy of Mathematics [M].
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[5]郑毓信.建构主义与数学教育[J]. 数学传播(台湾)，1998，(3).
[6]Paul Ernest. Social constructivisim as a philosophy of Mathematics[M].
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[8]伯恩斯坦.超越客观主义与相对主义[M].北京：光明日报出版社，1982.
[9]王治河.扑朔迷离的游戏——后现代哲学思潮研究[M].北京：社会科学文献出版社，1998.
[10]Imre Lakatos. Mathematics, Science and Epistemology [M].
[11]维特根斯坦.论确实[M].桂林：广西师范大学出版社，2002.
（原载《云南社会科学》2008年4期。录入编辑：乾乾）