摘要：偏好是哲学、博弈论、决策论和效益理论等学科的核心概念，偏好及其逻辑性质在行为哲学和理性选择理论中尤其占有十分重要的地位。本文从抽象逻辑的角度为偏好建模。首先，文章引入基于个体对象的单主体的信念偏好逻辑，然后把这个逻辑扩展到多主体的情形，给出多主体的信念偏好逻辑，证明了其完全性，并提出了在新情况下的表示定理。文章还重点研究了两种具体情境：相互合作的主体和相互竞争的主体，表明基于优先序列的偏好概念可以刻画多主体互动的主要特征。

关键词：优先序列 信念偏好逻辑 单主体 多主体 互动

 

一、             引言

 

偏好是哲学、博弈论、决策论和效益理论等学科的核心概念，偏好及其逻辑性质在行为哲学和理性选择理论中尤其占有十分重要的地位。偏好的概念使得我们对世界的看法变得多姿多彩，它驱使着我们在尘世的种种行为选择。对偏好一般原则的研究可以追溯到亚里士多德。[1] 20世纪早期有不少哲学家开始利用逻辑的工具研究偏好，偏好逻辑的几个完全的逻辑系统是由浩登（Hallden）和冯莱特（von Wright）最初提出来的。[2] 之后，偏好逻辑得到了长足的发展，并在经济学和计算机科学中得到了广泛的应用，汉森（Hansson）在《哲学逻辑手册》的“偏好逻辑”一章中对2001年之前的偏好逻辑研究做了全面的综述。[3]近年来，关于偏好的逻辑研究主要集中在偏好的改变[4]、偏好与知识、信念等认知概念的关系[5]、以及偏好在社会选择中的应用[6]。关于偏好研究的更为抽象的思想还出现在条件句逻辑、非单调逻辑和信念修正理论等领域。[7]这些逻辑的语义模型往往通过相对的相似性或似乎合理性来给可能世界排序。此外, 偏好逻辑也在道德哲学的最新发展中扮演着重要的角色。[8] 可以说, 偏好逻辑已经成为哲学和社会科学的一个重要组成部分[9]，毫不夸张地说，我们处处都能感受到偏好的影响。

跟信念一样，偏好是理性主体的一个重要的理智状态。每个主体都有自己的偏好，或可以根据已有的知识和信念来确定自己的偏好。在多主体的情境中，两个主体也许会有相同的偏好，当然也可能有完全不同的偏好。尤其是，为了完成某个共同的目标多个主体需要相互合作，而有时为了得到不同的结果主体之间要展开激烈的竞争。到目前为止，关于偏好的研究主要是针对单主体进行的，现存的逻辑系统无法刻画多主体的情形。本文的研究基于笔者与荷兰的德漾(de Jongh)教授2006年合作的英文论文“Optimality, belief and preference”，为方便起见，以下把这篇论文简称“德漾文”。本文的主要工作是把德漾文中所提出的单主体的信念偏好逻辑系统扩展到多主体的情形。为了本文讨论的需要，我们首先在下一节回顾一下单主体的信念偏好逻辑的语言、语义以及一些相关的重要定理。

二、           单主体的信念偏好系统

 

要描述个体对象的偏好[10]，德漾文中采用一阶逻辑语言的一个片段，其包括逻辑常项 d₀, d_{1 ……};逻辑变元x₀, x_1……;和谓词P, Q, P₀, P₁, _…… 。在多数情况下，我们考虑有穷的论域，一元谓词，和简单公式，通常不含量词或自由变元。下面我们将给出一些基本定义和定理。

 

定义2.1优先序列就是一个有穷的多个公式（称为“优先项”）的排序，表示如下：

C₁ ≫ C₂ …≫ C_n (n ∈ N),

其中每个C_m (1 ≤ m ≤ n)是语言中的公式，恰有一个自由变量x是每个C_m所共有的。

 

我们将用一些符号如C来表示优先序列中的项。这个优先序列是线性排列的。可以理解为较早的优先项比后面的优先项更为重要，如：C₁ ∧ØC₂∧··· ∧Ø C_m 比ØC₁ ∧C₂ ∧··· ∧C_m 更受偏爱，且C₁ ∧C₂ ∧C₃ ∧ØC₄ ∧ØC₅比 C₁ ∧C₂ ∧ØC₃ ∧C₄ ∧C₅更受偏爱。

 

定义2.2给定一个长度为n的优先序列, 两个对象x 和y, x比y更受偏爱，记作Pref(x,y)，定义如下：

Pref₁(x, y) ::= C₁(x) ∧ ØC₁(y),

Pref_k+1(x, y) ::= Pref_k(x, y) ∨ (Eq_k(x, y) ∧ C_k+1(x) ∧ ØC_k+1(y)), k < n,

Pref(x, y) ::= Pref_n(x, y),

其中辅助的二元谓词Eq_k(x, y)是(C₁ (x) ↔ C₁ (y))∧…∧(C_k (x) ↔C_k(y))的缩写。[11]

 

下面我们将会用Pref表示严格偏好，用Pref表示非严格偏好，用Eq对应～，表示两个要素是等价的。显然，不管优选性质是什么，非严格偏好关系具有下面的一般性质：

(a) Pref(x, x),

(b) Pref(x, y)∨Pref(y, x),

(c) Pref(x, y)∧Pref(y, z)→ Pref(x, z).

(a),(b) 以及(c)分别表示自返性、连通性和传递性。可见，Pref 是一个准线性关系，没有对称性。不足为奇的是，(a), (b) 和(c)是关于偏好的一套完备的原则。下面，我们会把这些原则放在表示定理（representation theorem）中做进一步的解释。首先，我们将一阶偏好的语言规约到它的核心部分。

 

定义2.3令Γ是命题变元的集合，D是个体对象的域，偏好逻辑的规约语言归纳定义如下：

j ::= p | Øj | j ∧ ψ | Pref(d_i, d_j),

其中p, d_i分别表示Γ和D中的元素。

 

规约语言包含了命题演算。从现在开始，我们将带变量和谓词的语言称为扩展语言。在规约语言中，上面的公理可以重新写成：

(a) Pref(d_i, d_i),

(b) Pref(d_i, d_j) ∨ Pref(d_j, d_i),

(c) Pref(d_i, d_j) ∧ Pref(d_j , d_k) → Pref(d_i, d_k)

我们将这个公理系统称为 P。

 

定理 2.4（表示定理）⊢_P j当且仅当j在所有从优先序列获得的模型中都有效。

证明： 从左至右的方向很明显。假定公式(d₁, … ,d_n, p₁, … , p_k) 在系统P中是不可推演的。那么存在一个非严格的准线序d₁, … , d_n，并且在j中有一组原子公式p₁, … , p_k的赋值使得j(d₁, … , d_n)不成立。我们假定有一个线序（容易转变为更一般的准线序），且顺序为d₁ ＞ d₂ ＞ … ＞ d_n 。然后我们引入拓展的语言，语言中包含一元谓词P₁,… , P_n，其中的优先序列为P₁ ≫ P₂ … ≫ P_n，并且令P_i仅仅作用于d_i。很明显，相对于优先序列的d₁, … , d_n 的偏好顺序为从左至右。这样，我们就把模型变形为想要的模型，即，其中定义的偏好关系具有需要的性质。[12] ■

 

以上我们所讨论的情形都是具有完全信息的情形。换句话说，关于个体对象是否具有某种属性的信息一旦给定，我们就可以得到基于这些个体对象的偏好。然而，在现实生活中，我们常常面临信息不完全的情形，而又不得不表明自己的偏好，这时，我们需要依赖自己的信念。从逻辑的角度看，我们需要用处理不确定性的信念算子Bj来拓展原来的语言，得到信念谓词逻辑语言的一个小片段。需要说明的是，也许完整的信念谓词逻辑语言能够处理更多有趣的问题，但我们在此不作进一步的研究，这个课题留待以后研究。我们将经典的KD45作为信念的逻辑。

下面我们给出在这种语言中偏好的定义。[13] 注意，在新的语言当中，优先序列的定义是相同的，特别是，优先性质C_i是新的语言中的公式，其中不包含信念算子。

 

定义 2.5（信念偏好） 给定长度为n的优先序列和两个对象x, y，Pref(x,y)定义如下：

Pref₁(x, y) ::= BC₁(x) ∧ ØBC₁(y),

Pref_k+1(x, y) ::= Pref_k(x, y) ∨ (Eq_k(x, y) ∧ BC_k+1(x) ∧ ØBC_k+1(y)), k ＜ n,

Pref(x, y) ::= Pref_n(x, y),

这里， Eq_k (x, y) 表示(BC₁(x) ↔ BC₁(y)) ∧…∧ (BC_k(x) ↔ BC_k(y))。

 

定理2.6下面的公式恰好是公理化系统中有效的原则。

(a) Pref(d_i, d_i),

(b) Pref(d_i, d_j) ∨ Pref(d_j , d_i),

(c) Pref(d_i, d_j) ∧Pref(d_j, d_k) →Pref(d_i, d_k),

(1.) ØB⊥,

(2.) Bj → BBj,

(3.) ØBj → BØBj,

(4.) Pref(d_i, d_j) ↔ BPref(d_i, d_j).

我们把包括以上的有效公式、分离规则(MP )以及算子B的概括规则的系统称为KD45-P。需要注意的是，上面的公理（4）表明我们把偏好看作理智的一个状态，某人偏爱一事物胜过另一事物当且仅当她相信她的这种偏爱。

 

定义 2.7 KD45-P模型是一个五元组＜W, D, R, {≤_w}_w∈W ,V＞，其中W是一可能世界的集合，D是常项的集合，R是W上满足欧性和持续性的可及关系，即，它满足性质xyz((Rxy∧Rxz)→Ryz) 和 ∀x∃yRxy。对于每个w, ≤w是D上的准线性序，对于每个欧性类而言这一个关系都是一样的。V是通常意义上的赋值函数。

注意，欧性类与等价类在很多方面都极为相似，除了欧性类包含一些不自返的世界，而且有一些R关系只指向类中自返的部分（等价的部分）。

 

定理2.8 KD45-P系统是完全的。

证明：逻辑KD45-P的典范模型具有我们所要求的特性：信念可及关系R是欧性的并且是持续的。这意味着对于R，模型被分成了欧性类。在每个节点，Pref是常项的准线性序。在欧性类里，偏好的序关系是一致的（根据BPref ↔ Pref)，这足够证明系统的完全性。　■

 

定理2.9 逻辑KD45-P具有有穷模型性。

证明：　用常规方法易证，这里省略。

定理2.10 (表示定理)⊢_KD45−P j当且仅当 j在由优先序列获得的所有模型中的都是有效的。

证明：假设 _KD45−P j (d₁, ..., d_n, p₁, ..., p_m)，根据定理2.8, 有一个模型，w为其一个世界， j是可满足的。我们把模型限制在w所在的欧性类里，由于在整个欧性类中，常项的排序是一样的，那么常项的排序在整个模型中也是一样的。 我们定义谓词P₁,...,P_n，然后采取定理2.4的方法证明。■

三、多主体的偏好信念系统

 

下面我们开始考虑多主体的情形，主要任务是把前一节引入的单主体的信念偏好逻辑扩展到多主体的情形。特别是，在本节我们将会看到一些非常有趣的结果，基于优先序列的方法可以使我们能够分析多主体之间的合作和竞争的情形。如果多个主体拥有相同的目标（优先序列相同），则他们会合作；如果他们有相反的目标，则他们将会竞争。这就为我们理解主体之间的交流互动提供了一个模型和视角。首先，我们直接定义多主体的信念偏好语言如下：

 

定义 3.1令Γ是命题变元的集合，G是主体的集合，D是个体对象的有穷的定义域，多主体的偏好逻辑的规约语言定义如下：

j ::= p | Øj | j∧ ψ | Pref^a(d_i, d_j) | B^aj

其中 p, a, d_i 分别表示Γ、G和D的元素。

 

注意：现在我们描述偏好或信念的时候是与具体的主体联系在一起的。与前面的约定类似，我们用Pref^a表达主体a的非严格偏好，用Pref^a来表示主体a的严格偏好。当我们想使用拓展了的语言时，就在上面的语言中添加自由变元和陈述P(d_i)。

 

定义 3.2一个单主体的优先序列是一个有限的公式序列：C₁ ≫_a C₂ · · ·≫_a C_n (n ∈ N)，其中任一C_m(1 ≤ m ≤ n)是由定义3.1的语言中的公式，只带了一个变元x，但没有Pref和B。

 

同样，现在的优先序列是带下标的，也就是说，每一个主体都有属于自己的优先序列。不同的优先序列决定不同的偏好。

在这个语言中，我们定义一个主体的偏好如下：

 

定义 3.3给定一个长度为n的优先序列，两个个体对象x和y，主体a关于x 和y的偏好，记作Pref^a(x, y)，定义如下：

其中Eq_k(x, y)表示(B^aC₁(x) ↔ B^aC₁(y)) ∧ · · · ∧ (B^aC_k(x)↔ B^aC_k(y))。

 

定义 3.4多主体的偏好逻辑KD45-P^G包含了如下的有效原则：

像通常一样，系统KD45-P^G也包含了分离规则（MP），以及算子B^a 的概括规则。

定义 3.6 KD45-P^G模型是一个五元组＜W, D, R^a, { }_w∈W ,V＞，其中aÎG，W是一可能世界的集合，D是常项的集合，R^a是W上对主体a而言的满足欧性和持续性的可及关系。对于每个w, 是D上的准线性序，对于每个欧性类而言这一关系都是相同的。V是通常意义上的赋值函数。

 

很容易看出，定义3.4中的原则在这种语义解释下是有效的。

 

定理 3.7 多主体的偏好逻辑KD45-P^G是完全的。

证明：KD45-P^G逻辑的典范模型具有所需的性质：信念可及关系R^a是欧性的和持续的。这意味着R^a模型被划分为a-欧性等价类。其次，在每个节点上Pref^a是个关于常项的准线性序,其中在每个a-欧性类中a-偏好到处都是相同的。这个准线性序和到处相同的属性显然是偏好关系所需的性质。对于其它主体也一样。这就证明了该逻辑的完全性。 ■

定理 3.8 KD45-P^G逻辑具有有穷模型性。

证明：通过经典的方法可证。

类似地，通过证明模型可以由对所有主体成立的优先序列C₁ ≫_a C₂ · · ·≫_a C_m(m ∈ N)而得到，也就可以得到表示定理。

 

定理 3.9（表示定理）├_KD45−P^G j 当且仅当 j 在所有模型中是有效的，其中每个Pref ^a 是从一个优先序列得到的。

证明：令存在k个主体a₀, . . . , a_k−1，并假定有j (d₁, . . . , d_n)成立。对于每个主体a_j，他的优先序列是P_n×j+1 ≫a_j P_n×j+2 ≫a_j ... ≫a_j P_n×(j+1)。我们只要能证明简化语言的任一KD45-P^G模型，都能通过添加P_j(d_i)的赋值使得偏好关系得以保持，定理就可以得证。对于任一a_i-欧性类，我们沿用定理2.4中的方法，对于个体d₁, . . . , d_n ，我们假设对应的谓词是P_n×j+1, P_n×j+2, ..., P_n×(j+1)。这样获得的偏好序恰好就是模型中的关系Pref ^a_j。 ■

 

在上述情况下，不同主体的优先序列是彼此独立的，因此是不同的。更强的表示定理可以要求不同主体的优先序列是以某种方式相关的。比如，在合作主体的情况下，他们具有相同的优先序列。下面我们将考虑几个具体的情境，把注意力集中在两个主体的情况。

 

定理3.10（两个合作的主体）├_KD45−P^G j 当且仅当 j 在从两个合作主体所共有的优先序列所获得的所有模型上都有效。

证明： 我们用a和b表示两个主体。假设a的优先序列是P₁ ≫_a P₂ ≫_a ... ≫_a P_n，b的优先序列与此相同。同样，我们只要能证明简化语言的任一KD45-P^G模型M（具有世界W），都能通过添加P_j(d_i)的赋值使得偏好关系得以保持，定理就可以得证。作为出发点，我们给P_j(d_i)在模型中的任意出现都赋为真。接着，我们将模型做如下拓展。对于模型中的任一a-欧性类执行如下程序：对于所有的简化语言，拓展M为完全复制了M的M_E，即不带谓词P_j。添加关系R_a从E中的任一w到其复本v_E使得wR_av。现在对E的复本E_E做同样的操作，就像定理2.4一样。在M_E的其它部分的做法无关紧要。现在，在w中，a会相信P_j(d_i)就像在前面证明中的模型一样，P_j(d_i)在最初模型的a-欧性类E上的总体真值是无关紧要的。用这种方式得到的偏好关系是恰好是模型中的Pref ^a 关系。简化语言中的所有公式都保持了它们的初始真值，因为模型M_E是与旧模型M具有互模拟关系。

最后，对b做同样的事：对每个M中的b-欧性类添加一个完整的复本，并重复上面关于a的程序。a和b都会有相同的偏好——来自相同的优先序列。 ■

 

对于相互竞争的两个主体，我们假设主体a有优先序列D₁ ≫_a D₂ ≫_a · · ·≫_a D_m(m ∈ N)，而对手b有优先序列ØD_m≫_b ØD_m−1≫_b · · ·≫_b ØD₁。注意比较这两个优先序列的特征。

 

定理 3.11 （两个竞争的主体）├_KD45−P^G j 当且仅当 j在从竞争主体的优先序列所获得的所有模型中都有效。

证明：让我们假定有两个主体a和b。对于a我们有优先序列P₁≫_a P₂ ≫_a · · ·≫_a P_n ≫_a P_n+1 ≫_a · · ·≫a P_2n，对于b，我么有ØP_2n ≫_b ØP_2n−1 ≫_b · · ·≫_b ØP_n ≫_b ØP_n−1 ≫_b· · ·≫_b ØP₁。同样，只要我们能证明对于简化语言任一具有世界w的KD45-P^G的模型M，都可以拓展P_j(d_i)的赋值使得偏好关系得以保持，那就足够了。首先，我们令P₁(d_i) . . . P_n(d_i) 在模型中处处为真并令P_n+1(d_i) . . . P_2n(d_i)在模型中处处为假。接着我们将模型做如下拓展。

对于模型中的任一a-欧性类E执行如下程序。对于所有的简化语言，用一个M的复本M_E拓展M，其中不带谓词P_j。添加R_a关系从E的任一w到其复本v_E使wR_av。现在定义P₁(d_i) . . . P_n(d_i)在E_E中的赋值就像前面的证明一样，并且是所有的P_m(d_i)在m>n处皆为真。以这种方式获得的偏好序就是模型中的Pref ^a 关系。

对于模型中的任一b-欧性类E执行同样程序。用一个M的复本M_E拓展M，其中不带谓词P_j。添加R_b关系从E的任一w到其复本v_E使得wR_bv。现在定义E_E中的ØP_2n(d_i) . . . ØP_n+1(d_i)真值就像前面证明中的P₁(d_i) . . .P_n(d_i)一样，并且使P_m(d_i)在m ≤ n处皆为真。以这种方式获得的偏好序就是模型中的Pref ^b 关系。简化语言的所有公式都保持这它们原来的赋值因为模型M_E是与旧模型M之间是互模拟的。■

到此，我们结束了本节关于多主体信念偏好逻辑技术方面的研究。从上面的结果可以看出，尽管逻辑KD45-P^G的语言和语义与单主体的情形相比较并没有变得非常复杂，但是，在新的语言中我们却能研究和刻画主体间更为丰富而有意义的关系。

四、           结论与研究前景

 

本文从概述偏好的一般研究开始，指出偏好在许多学科中的核心地位。接着，我们回顾了基于个体对象的单主体的信念偏好逻辑。然后，本文把单主体的信念偏好逻辑扩展到多主体的情形，给出了完全的逻辑系统，证明了新情况下的表示定理。此外，文章还重点研究了两种具体情境：相互合作的主体和相互竞争的主体，表明基于优先序列的偏好概念可以刻画多主体互动的重要特征。

研究单个主体的信念和偏好固然重要，它可以帮助我们了解个体的理智状态。然而，研究由多个主体组成的群体，譬如，社会团体、社会阶层甚至整个社会的理智特征具有更为重要的社会意义。尤其是，对主体之间的互动的研究是群体研究的关键。主体间的合作和竞争在现实生活中普遍存在，博弈论对此也有较为广泛的研究。我们知道，博弈论通常采用效益函数来表示偏好，用概率来表示信念。那么，值得进一步探讨的一个问题是，如何把本文得到的逻辑模型应用到博弈论中，或与博弈论中的模型进行比较。另外，本文的研究主要是基于个体对象的信念偏好，而偏好可以是对情形的比较，关于命题的偏好。那么，本文得到的结论对于命题偏好是否具有同样的意义？在技术上会有什不同？由于篇幅有限，我们把这些问题留待今后研究。

 

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