一、现行的联合演算的判定标准缺乏理论根据

希尔伯特和阿克曼在《数理逻辑基础》（1958年第1版，莫绍撰译）中提出了联合演算

的思想，就是联合命题演算和谓词演算或类演算对传统逻辑作系统化的处理。希尔伯特和

阿克曼还就形式化后的传统推论的判定问题提出了一个识别的标准。他们尽量把联合演算的表达式化为所谓标准的合取范式，使合取式的每一项都是析取式。这个合取式永真，当且仅当它的每一项永真。它的每一项的一般形式被表示为：

｜S1｜∨｜S2｜∨…∨｜Sm｜∨｜`P1｜∨……∨｜`Pn｜

他们认为，这个析取式永真，当且仅当下述命题中至少有一个永真：

｜`P1｜∨……∨｜`Pn｜∨｜Si｜（i=1，2，……，m）

这样, 他们实际上承认了这个等值式：

1）｜S1｜∨｜S2｜∨ `P1……∨｜Sm｜∨｜`P1｜∨……∨｜`Pn｜

他们在运用命题逻辑规律，把公式

｜`P1∨……∨`Pn∨Si｜

写成

｜P1∧P2∧……∧Pn® Si｜

的形式后，认为这又可化为

｜P1∧P2∧……∧Pn｜®｜Si｜

这样，他们又给出一个等值式：

2）｜P1∧P2∧……∧Pn® Si｜

«｜P1∧P2∧……∧Pn｜®｜Si｜

他们还直接给出一个等值式：

3）｜P1∧P2∧……∧Pn｜«｜P1｜∧｜P2｜∧……∧｜Pn｜

把等值式1)、2）、3）用简明的形式写出来就是：

1¢）｜X｜∨｜Y｜«｜X∨Y｜

2¢）｜X®Y｜«｜X｜®｜Y｜

3¢）｜X∧Y｜«｜X｜∧｜Y｜

这就是说，他们在推导其判定标准的过程中，是把这三条公式作为联合演算的基本公式来使用的。因为联合演算的公式都可化归为一般的谓词演算的量化形式，公式1¢）和2¢）可分贝表述为：

1¢¢）(x)F(x)∨(x)G(x) «(x) (F(x)∨G(x))

2¢¢）(x)(F(x)® G(x)) «(( x) (F(x) ® G(x))

这两个重新表述的公式似乎分别反映了全称量词对于析取和蕴涵的分配律。这两个分配律，在王宪钧《数理逻辑引论》（1982年第1版。以下简称《引论》第158—160页中是作如下的表述的：

定理108 ├ (x)F(x)∨(x)G(x) ®(x) (F(x)∨G(x))

定理106 ├ (x)(F(x)® G(x)) ®(( x) (F(x) ® G(x))

书中提供了证明，并明确肯定这两个定理的逆命题不能成立（这也是不难证明的）。而公式1¢¢）和2¢¢）却表明这两个定理的逆命题是成立的，这显然是严重的错误。至于基本公式3¢），其一般的量化表达式是：

(x)(F(x)∧G(x))« (x) F(x)∧(x) G(x)

这是全称量词对于合取的分配律。这个定理是正确的，其证明详见《引论》第157一158页。

现行的联合演算解决判定问题的主要方法乃在于其特构的判定标准。这种标准在理论上缺乏足够的根据，因而是不可靠的。

二、联合演算的两种方法

联合演算完全可以抛弃现行的特构的判定标准，从自身的合理内核出发，开辟一条新的解决问题的道路。

（一）对联合演算的两个层次的划分

联合演算实际上不是在单一的层次上进行的，而是内涵了两个层次。第一个层次是命题演算的层次，在这个层次上，基本命题是竖号内的单纯的谓词，运算时，其变项或常项只作命题逻辑的解释。第二个层次是谓词演算的层次，在这个层次上，基本命题不再是单纯的谓词，而是连同竖号的谓词，竖号内的变项或常项运算时只作谓词逻辑或类逻辑的解释，联结基本命题的联结词仍作命题逻辑的解释。第一个层次上的基本命题（“单纯的谓词”）在第二个层次上看来仅仅是无真假的命题函项，要把它变成有真假的命题，必须对函项有所断定，所以说第二个层次上的基本命题是“连同竖号的谓词”。两个层次上的基本命题，既可以是简单的，也可以是复合的。不妨把竖号内只有一个变项的基本命题称为简单的基本命题，而把竖号内不止一个变项且有联结词联结的基本命题叫做复合的基本命题。联合演算在两个层次上同时受命题逻辑规律的支配。

（二）联合演算的结构分析方法

结构分析法首先要求将一联合演算公式化为标准式，就是在第二个层次上将一非蕴涵式化为蕴涵式，在第一个层次上将非析取式或非合取式化为析取式或合取式，然后对该标准式的前后件的结构进行分析，看在后件为假的所有情况下，前件是否必假；在前件为真的所有情况下，后件是否必真。这种方法主要有三方面的应用。

（1）揭示传统推理式的前提和结论之间的联系的必然性。传统推理式的前提和结论之间的联系在联合演算中是通过蕴涵表示的。一个重言的蕴涵式的前件和后件，单从命题逻辑的角度看，就内含了某种必然的联系。例如，p®p∨q，p∧q®q都是重言式，如果假定其前件真，其后件就不可能假；如果假定其后件假，其前件就不可能真。反过来，也可以说，对一蕴涵式, 如果在前件为真的所有情况下，后件必然真，或者如果在后件为假的所有情况下，前件必然假，那么，该蕴涵式是永真的。在联合演算中，也有相似的情形。通过对一联合演算公式的前后件的结构的分析，完全可以把握与之相应的传统推理式的前提和结论之间的联系的必然性。

（2）判明一联合演算公式是否永真式。例如，判明｜`F｜∨｜`F®G｜是否永真式。首先化为标准式：

｜F｜∨｜F®G｜

方法一：假定后件假，看前件是否必假。

这里，后件为假，即F∨G≠V（V表示全类，下同），有四种情况：①F=Λ（Λ表示空类，下同）且G=Λ；②F=Λ且G≠Λ；③F≠Λ且G=Λ；④F≠Λ且G≠Λ且`FËG；显然，在这四种情况下，F≠Λ，即｜F｜前件必假。故原式为永真式。

方法二：假定前件真，看后件是否必真。

这里，前件真，即F=V，故F∨G=V，故后件｜F∨G｜必真。结论：原式为永真式。结构

分析法对于判定问题的解决仅仅对一些较为简单的表达式是方便的，而对一些较为复杂的表达式，其判定能力是有限的。

（3）帮助由任一可满足式（包括永真式）得出永真式。这有两种方法，即添加法和删减法。

①添加法。通过结构分析，对一联合演算的蕴涵式的前件或后件加以限定，使前后件间显现永真命题联系。例如，怎样由可满足式｜F∨G｜®｜F∧G｜得出永真式?

方法一：限定前件为假。例如限定F为空类且G不是全类，即｜`F｜∧｜`G｜，则可得永真

式：

｜`F｜∧｜`G｜∧｜F∨G｜®｜F∧G｜。

方法二：限定后件为真。此例中，后件为真，当且仅当F 为全类且G 为全类，即｜F｜∧｜G｜，作为前提添加上去，则得永真式：

｜F｜∧｜G｜∧｜F∨G｜®｜F∧G｜。

方法三：把限定前件为假和后件为真的充分条件同时作为前提添加上去。此例中，可得永真式：

｜`F｜∧｜`G｜∧｜F｜∧｜G｜∧｜F∨G｜®｜F∧G｜

或

（（｜`F｜∧｜`G｜）∨（｜F｜∧｜G｜））∧｜F∨G｜®｜F∧G｜。

如果一可满足式，从第二个层次上看，仅仅是一个基本命题，那么，把该基本命题作为后件，把使得该基本命题为真的充分条件当作前件，用蕴涵符联结起来，就可以很容易地得出永真式。例如，怎样由｜F∨G｜得出永真式？｜F∨G｜真，当且仅当F∨G=V，如果F=V，或G=V，即

｜F｜∨｜G｜则可满足这一要求。这样，就得到永真式

｜F｜∨｜G｜®｜F∨G｜

添加法还有第四种方法，就是对一联合演算的蕴涵式中的某一变项加以限定。通过结构分析，如果发现原式中有变项有导致该式为假的可能性，则通过限定把该变项可能导致该式为假的那个情况加以排除，也可得出永真式。例如，有表达式｜`S∨P｜®｜`S∨`P｜。只有在一种情况下，即S是空类的情况下，该式为假。若限定S不是空类，即｜`S｜，则可得永真式：

｜`S｜∧｜`S∨P｜®｜`S∨`P｜

②删减法。把一联合演算的蕴涵式中有可能造成该式为假的那个变项删去，且使原式在第一个层次上的仍然是合式的。如上例｜`S∨P｜®｜`S∨`P｜中，把变项S删去，则可得出永真式：

｜P｜®｜`P｜。

(三)联合演算的范式判定方法

这一方法用于在有穷步骤内解决一联合演算公式的判定问题。由于命题逻辑规律在联合演算的两个层次上都是有效的，可以首先利用这些规律对原式等值地加以变形，变化出新的复合的基本命题，有选择地使基本命题内出现合取式，然后再拆开（不必介意是否能全部拆开为简单的基本命题），最后根据联合演算的两个基本永真式（｜F｜∨｜`F｜；｜`F｜∨｜`F｜）加以判定。例如，判定，｜`S｜∨｜`S∨P｜∨｜`S∨`P｜是否永真式。根据`A ∨`B® A∧B，

该式可化为

｜`S｜∨｜`S∨P｜∧｜`S∨`P｜

根据｜A｜∧｜B｜«｜A∧B｜

该式可化为

｜`S｜∨｜`S∨P｜∧｜`S∨`P｜

根据A∧（B∨C）®（A∧B）∨（A∧C）

该式可化为

｜`S｜∨｜（`S∧`S）∨（`S∧`P）∨（P∨`S）∨（P∧`P）｜

进一步可化为

｜`S｜∨｜（`S∧（`S∨`P∨P））∨（P∧`P）｜

因为永真的合取项和永假的析取项都可以省略，该式可简化为

｜`S｜∨｜`S｜

在联合演算中，这正是基本的永真式。原式因而是永真的。

运用联合演算的范式判定法，对于数学具有重要意义的豪伯定理可以在较为严格的意义上得到证明。

三、联合演算对传统推论的等价描述

希尔伯特和阿克曼没有完成联合演算对传统推论的等价描述，他们对传统推论的研究是建立在对传统推论的不等价翻译的基础之上的，传统性质判断及其构成的推理式在现行的联合演算中并没有找到相应的等价的表述。正因为这种情况，传统性质判断的严格的逻辑方阵在现行的联合演算中居然不再有效了。请看：

｜S®P｜——｜S®`P｜

 

｜S®`P｜——｜S®P｜

在这个方阵中，除矛盾关系仍然有效外，其他关系都不再有效了。显然，现行的联合演算对传统性质判断的处理是有偏差的，还没有如实反映其本来的全部内涵，因而，在此基础上就无法揭示传统推论的本来面目。以三段论推理为例，第一格A A A 式，被翻译为

｜`M∨P｜∧｜`S∨M｜®｜`S∨P｜

第三格AAI式被翻译为

｜`M∨P｜∧｜`M∨S｜®｜`S∨`P｜

这种翻译的结果，第一格A A A 式仍然有效，而第三格A A I 式则不再有效了。为解决这一矛盾，希尔伯特和阿克曼着意单单对非有效式添加前提，这一办法是相当牵强的。

那么，传统推论如何才能在联合演算中找到其等价的形式呢？这涉及对传统逻辑的理解问题。希尔伯特和阿克曼表述过一个富有启发性的观点，认为在传统逻辑中隐含了一个前提，就是全称命题的主词不能是零类。但是希尔伯特和阿克曼想的和做的都不够彻底，他们没有能够克服两大缺陷。首先，他们认为在传统全称命题中，仅仅是主词不能是零类，而实际上，隐含在传统逻辑中的真正的前提应是：所有的变项都不能是零类。其次，他们在翻译传统全称命题时，并没有将主词不能是零类的隐含的前提形式化以后添加上去，而实际上，在翻译全称命题时，应将主词和谓诃同时不能是零类的限定形式化以后添加上去。这样，特称命题，从而由性质判断构成的传统推理式，就可以在联合演算中找到其等价的表述。我们将看到，传统推论在自身所把握的范围内是极为严格的，一切在传统推论看来有效的推理式在联合演算中仍然是有效的。现在，联合演算对传统性质判断逻辑方阵作如下的描述：

｜`S｜∧｜`P｜∧｜`S∨P｜——｜`S｜∧｜`P｜∧｜`S∨`P｜

 

｜`S｜∧｜`P｜®｜`S∨`P｜——｜`S｜∧｜`P｜®｜`S∨P｜

从这个方阵中，可以看到：

SAP=｜`S｜∧｜`P｜∧｜`S∨P｜

SEP=｜`S｜∧｜`P｜∧｜`S∨`P｜

SIP=｜`S｜∧｜`P｜®｜`S∨`P｜

SOP=｜`S｜∧｜`P｜®｜`S∨P｜

这个方阵中的四种关系在联合演算中仍然有效，由此引出的四类直接推理在联合演算中仍然有效。新的翻译模式说明，传统三段论推理的19 个有效式仍然全部有效，而并不是原先认为的只有15 个有效，另外四个由全称前提推出特称结论的推理式不再有效了。这个模式对三段论第一格A A I式的表述是

｜`S｜∧｜`M｜∧｜`P｜®（｜`M∨P｜∧｜`S∨M｜®｜`S∨`P｜）。

其有效性，无论是通过结构分析法，还是通过范式判定法都可以给以证明。新的翻译模式表明：传统逻辑在其自身所把握的范围内是完美无缺的，传统逻辑在突破其自身的局限之后在抹去了其隐含的一些条件之后，很多内容仍然有效，仍然不失其永恒的魅力。

 

（原载《南京大学学报》1994年第一期。）