现代逻辑由众多的逻辑分支组成，各个分支有着自己的背景和发展动因，各个逻辑分支的相对独立发展成了逻辑研究的一道风景线。随着近年来子结构逻辑（substructural logics）研究的不断深入，这种情况有所改变。

“子结构逻辑”的名称出现在20世纪90年代①，它是一大类逻辑的统称，涉及基本子结构逻辑（basic substructural logic）与经典逻辑之间的各个现代逻辑分支，包括Lambek演算②、线性逻辑③、衍推逻辑、相干逻辑、BCK逻辑④、极小逻辑、直觉主义逻辑，以及多种正规的和非正规的模态推演，具有宽广的研究视野。子结构逻辑的特点是：从结构规则（structural rules）和逻辑联结词的推演规则这两个层面上来研究逻辑，这种研究方法有利于对一大类逻辑作整体研究和比较研究，具有良好的表现力。

一　结构规则

“结构规则”的概念产生于20世纪30年代，是根岑（G. Gentzen）构建经典逻辑和直觉主义逻辑的贯列（sequent，亦称“矢列”）演算时给出的⑤。

我们用A、B、C……表示形式语言L中任意的公式，用X、Y、Z、X′、Y′……表示任意的有限的公式序列（可以是空的），称形式为“X├Y”的表达式为一个贯列，当其中的Y是单个公式A时，贯列“X├A”可以解释为：“以X中的那些公式为前提推出结论A”。贯列“X├A”与公理系统中以公式集г为前提的推演“г├A”的区别是：（1）X是公式序列，其中的公式（由逗号“，”分割）有先后顺序，而г是公式集，其中的公式没有先后顺序；（2）X中的公式是有限的，而г中的公式则没有这一限制，可以是有限的，也可以是无限的。

常用的逻辑推演规则可以用贯列的方式给出，如分离规则（modus ponens）可以表示为“A，A→B├B”。根岑的“结构规则”不同于上述单个贯列表述的推演规则。它是以一个或多个贯列为前提，推出另一个贯列的推演规则。此外，还有一个重要的要求：规则中不显示逻辑联结词，因此，它才从结构的层面上揭示了推演的特性。根岑给出了下列重要的结构规则⑥：

 

这提示了推理方式的传递性：若由X推出A，由A推出Z，则由X可推出Z。

当代子结构逻辑的研究汲取了根岑的思想，同时在处理方式上做了改动和拓展，使表述更为精致。采用的方法是：给出“结构”和“子结构”的概念，在此基础上建立结构推演系统，它包含两类推演规则，一类是逻辑联结词的推演规则，如各个联结词的引入规则、消去规则等；另一类是结构规则，包括形形色色的内涵结构规则、外延结构规则和模态结构规则。

仍用A、B、C……表示形式语言L中任意的公式，给出标点符号“；”、“，”、“·”、“0”，其中的“；”和“，”是二元标点，“·”是一元标点，“0”是零元标点。用如下的方式给出“结构”的递归定义：（1）单独的一个公式是一个结构；（2）零元标点0是一个结构；（3）若X是结构，则·X是一个结构；（4）若X和Y都是结构，则（X；Y）和（X，Y）是结构。

作为对比，根岑的贯列演算仅用了二元标点逗号“，”以分割公式序列中的公式。子结构逻辑采用了多种标点，是因为子结构逻辑涉及一大类逻辑，为了对一大类逻辑做整体研究和比较研究，有必要区分内涵结构、外延结构和模态结构，而标点“；”、“，”和“·”正是分别为这三种结构设计的。零元标点“0”代表了“空的结构”。

从现在起，我们用X、Y、Z、X′……表示形式语言L中任意的结构，并且按照惯例省略出现在一个结构最外端的那对括号。“子结构”的定义类似于“子公式”，结构X的子结构包括X自身，以及作为X组成部分的那些结构。

 

在子结构逻辑的研究中，重要的内涵结构规则如下⑧：

 

其中，弱交换规则CI是强交换规则C的特例（取C中的X为0），弱收缩规则WI是强收缩规则W的特例（取W中的X为0），混合规则M是弱化规则K的特例（取K中的Y为X）。

 

模态结构规则中含有模态标点“·”，例如，模态结构规则T是：“X·X”，它与正规模态逻辑系统T的特性有关。

只有逻辑联结词的推演规则，而没有任何结构规则的逻辑系统称为“基本子结构逻辑”，以此为基础，通过添加不同的结构规则组合，可构成形式各异的子结构逻辑系统。例如，Lambek结合演算有结合规则B和逆结合规则B[c]，线性逻辑有B和强交换规则C，相干逻辑有B、C和强收缩规则W，如其名称所示BCK逻辑有B、C和弱化规则K，直觉主义逻辑有B、C、W和K。结构规则为整体上处理一大类逻辑提供了理论平台，也正是借助于结构规则，清晰地显示了子结构逻辑范围内的各个分支的结构差异，为诸分支的比较研究提供了有力工具。

二　逻辑联结词

子结构逻辑涉及众多的逻辑联结词，包括蕴涵词（亦称“条件词”）、否定词、合成词（fusion）、合取词、析取词、模态词等。子结构逻辑对这些逻辑联结词做了细致的刻画。

作为二元联结词的蕴涵词有两种，用符号“→”和“←”表示，它们有各自的引入规则和消去规则。可以证明，在弱交换规则CI成立的条件下，“→”和“←”是等价的，即“A→B├B←A”和“B←A├A→B”都成立。换言之，对于缺少弱交换规则CI的结构推演系统（例如Lambek结合演算），有必要采用两种蕴涵词，因为“→”和“←”具有不同的涵义；反之，对于接纳了弱交换规则CI那些结构推演系统，只用一个蕴涵词→就可以了。

每一个内涵结构规则都可以找到对应的蕴涵公式，这种对应关系为结构推演系统与相应的公理系统提供了便利的变换方式与具体的对应关系⑨。

 

借助于与否定词有关的其他各种推演规则，子结构逻辑研究了强弱各异的多种否定概念，包括分离的否定（split negation）、简单的否定（simple negation）、德摩根否定（de Morgan negation）、严格的德摩根否定（strict de Morgan negation）、直觉主义的否定（intuitionistic negation）、布尔否定（Boolean negation）等等⑩，对逻辑学所涉及的多种否定概念做了清晰的界定，并理清了各种否定概念之间的相互关系。

作为二元联结词的合成词亦称为“内涵合取”，用符号“○”表示，它反映了二元内涵标点“；”的行为。内涵结构规则有形式相似的合成蕴涵式相对应：将内涵结构规则中的“；”、“”分别改换为“○”和“→”，并用公式A、B、C分别取代结构X、Y和Z。例如，结合规则B“（X；Y）；ZX；（Y；Z）”对应的合成蕴涵式是“（A ○ B）○C→A○（B ○ C）”。

合成词与蕴涵词、否定词之间有密切的联系，在接纳了结合规则B、强交换规则C和严格的德摩根否定的子结构逻辑系统中，合成式“A ○ B”等价于“～（A→～B）”，它显示了合成词的直观意义：两个命题A和B的合成，就意味着“命题A推不出命题B的否定”。

 

作为一元联结词的模态词包括可能算子“◇”和必然算子“□”，可能算子“◇”反映了一元内涵标点“·”的行为，模态结构规则有形式相似的含有可能算子的蕴涵式相对应。例如，与模态结构规则T“X·X”相对应的模态蕴涵式是“A →◇ A”。

三　广阔的应用前景

借助于结构推演系统，子结构逻辑揭示了日常推理中的多种推理方式，对于逻辑推理机制的深入研究和人工智能的开发具有重要的理论意义和实际价值，展示了广阔的应用前景。应用的领域包括行为推理，自然语言的范畴语法和句法类型研究，前提不可重复使用的推理，相干推理，单调和非单调推理，构造性推理，模态和时态推理等等。

在行为推理中，“付款”（记做X）和“送货”（记做Y）是两种行为类型，“先付款后送货”（记做X；Y）和“先送货后付款”（记做Y；X）的行为类型也不同，因为它意味着两种不同的销售方式，这说明行为推理拒斥弱交换规则CI。行为推理也不接纳弱收缩规则WI，一次付款的行为类型“X”并不导致先后两次付款的行为类型“X；X”。

自然语言的范畴语法和句法类型研究有类似的情况。将自然语言的表达式分为不同的句法类型，名词属于N（name）型，不及物动词属于IV（intransitive verb）型，语句属于S（sentence）型，如此等等，并用“；”来联结句法类型。例如，语句“Tom swims”是S型的，其中的名词Tom是N型的，不及物动词swims是IV型的，于是语句“Tom swims”也是“N；IV”型的。一般而言，对于两种不同的句法类型X和Y，句法类型“X；Y”和“Y；X”可能不同，这说明不采用弱交换规则CI。弱收缩规则WI也是不能接受的，属于“IV”型的单个不及物动词并不属于“IV；IV”型。

在前提不可重复使用的推理中，对于推理“X├A”的要求是：在推出结论A的过程中，X中的每一个前提必须被使用且只使用一次。例如，“B；B├A”意味着两个前提B都被使用了一次推出结论A，而“B├A”则表示唯一的前提B被使用了一次推出结论A，这是两种不同的推理方式，在前者成立的条件下，后者未必一定成立。可见，弱收缩规则WI是不能接受的。

相干推理要求推理的前提与结论之间具有相干性。其直观涵义是：推理的前提和结论之间有某种意义、内容方面的联系。相干推理拒斥弱化规则K，因为“X├A”成立（意味着前提X与结论A之间具有相干性），并不一定导致“X；Y├A”成立（Y可能与A不相干）。

单调推理是接受弱化规则K的推理，反之，非单调推理则不接受K。接受结构规则B、C、W和K的直觉主义逻辑给出了一种构造性推理，它与数学哲学中的直觉主义思想一脉相承。借助于形式各异的模态结构规则，可以发展多种形式的模态和时态推理。

子结构逻辑有完整的形式语义，包括代数语义、邻域语义和关系语义，可以统一地处理子结构逻辑范围内的各个现代逻辑分支，从语义的层面上揭示出其中的差异，并深入讨论各种结构推演系统的元逻辑特性，如可靠性、完全性、可判定性、保守的扩充等等。此外，关系框架语义还开辟了子结构逻辑在“情境理论”和“信息论”方面的应用前景（11）。用于“情境理论”时，将关系框架语义中的“点”（point）看做“情境”（situation），点x满足公式A（即“xA”），意味着“A在情境x中成立”。用于“信息论”时，则将“点”视为“状态”（state），点x满足公式A，意味着“状态x承载信息A”。“情境”与“可能世界”的区别在于：“情境”可以是不完全的，不必有“xA或x～A”，而“可能世界”则不然。“状态”与“情境”、“可能世界”的区别在于：“状态”不仅可以是不完全的，也可以是不相容的，作为信息承载体的“状态”可能容纳了彼此矛盾的信息。由此可见，“情境”与“状态”的概念是“可能世界”概念的拓展，放宽了“可能世界”的完全性和相容性的要求；由于各个“状态”承载的信息量的多寡不同，还可以讨论“状态”之间的收缩和扩充等问题。不断拓宽子结构逻辑的应用领域，是子结构逻辑研究的重要内容和发展方向。

 

                                          （原载《哲学动态》2007年6期。录入编辑：乾乾）