经典数学理论的逻辑完全是一阶逻辑还是也需要二阶逻辑？逻辑学家对此一直有争议。这种争议大约开始于20世纪20年代，但是似乎直到现在还未尘埃落定。在普遍接受反基础主义的前提下，数学基础的研究任务不再是为数学的各个分支寻找最大程度上免于理性怀疑的基础，而是在重构数学分支的过程中给出各个数学分支间的关系，描绘出数学的大图景。在这样的背景下，数学基础的研究不可避免地需要二阶逻辑。一阶逻辑与二阶逻辑的主张者都承认经典数学，这就使得他们与直觉主义的主张有明显的不同。一阶逻辑的主张者认为只有一阶逻辑才是经典数学的逻辑，本文则提出一种比较温和的二阶逻辑的主张，即认为除了一阶逻辑之外，二阶逻辑在数学基础研究中的作用亦不容忽视。

一、在反基础主义精神下理解数学基础

历史上主张经典数学的逻辑是一阶逻辑的逻辑学家主要有司寇仑(T. Skolem)、冯·诺依曼(von Neumann)、蒯因(W. V. O. Quine)等；主张二阶逻辑的逻辑学家主要有丘奇(A. Church)、策梅洛(F. F. F. Zermelo)、克雷斯(G. Kreisel)。当数理逻辑的发展进入到20世纪30年代，数理逻辑学家发现原来的某些促使逻辑学发展的基础主义动机无法实现了。当代的数学基础的研究都是在反基础主义立场下进行的。那么，应该怎样理解反基础主义下的数学基础的研究？

为了理解反基础主义，有必要指出基础主义是什么。一般认为，在数学哲学中，基础主义的观点是：为数学的每一个分支建立完全(绝对)安全的基础是可能的。这里“完全安全”的意思是，这个基础在最大程度上免于理性怀疑。在数学基础的研究史上，弗雷格的逻辑主义与希尔伯特的有穷主义是基础主义的两个代表。然而，数理逻辑的发展使得人们承认这两种基础主义的主张都无法实现，现在人们已放弃了基础主义。

上述两种基础主义的主张的共同点是都用公理系统来重构数学分支。它们都认为从公理出发，按照推理规则可以重构数学的知识整体；逻辑自身通过公理系统被明确，逻辑就是正确推理。二者的不同点主要在于认为什么基础是安全的，以及如何说明这个基础是安全的。对于希尔伯特的有穷主义来说，尽管许多数学分支超越了有穷，但是只有特定的“有穷”才是有意义的。数学基础的研究任务之一就是在一个演绎系统中重构出每一个合法的数学分支。一旦这个任务完成，接下来数学基础的研究任务就是确保这个演绎系统的每一个定理都对应于一个正确的关于有穷的陈述句。(Detlefsen, pp. 82－84)这就意味着希尔伯特的安全基础需要一致性的证明。然而哥德尔不完全定理说明这个一致性的证明无法用系统本身实现。所以希尔伯特所希望建立的绝对的有穷主义失败了。

弗雷格的逻辑主义的目标是要建立一个演绎体系，它自身的安全性不需要证明，因为弗雷格认为它是普遍并且自明的。(Detlefsen, pp. 59－60)这个演绎体系可以重构算术理论。然而罗素悖论宣告了这个演绎体系不是安全的，因为它有矛盾。

虽然希尔伯特的有穷主义与弗雷格的逻辑主义都失败了，但是数学家并未停止数学基础的研究，相反，上述主张留给后人的宝贵遗产使得数学基础研究的成果不断丰硕。当代数学基础领域的数学家以及逻辑学家不再把“为数学分支提供绝对安全的基础”作为己任，这主要因为他们的工作是重构数学分支，然而重构就意味着要承认原来数学分支固有的东西，在这个意义上是无法说明重构的东西要比原有的东西更为安全的。历史上的基础主义的失败使得数学家和逻辑学家更加谨慎地对待基础主义。他们已不像前驱者们那样“野心勃勃”了，而且卸掉了“基础主义”的负累后，他们的研究更为自然。在反基础主义的精神下，他们认为数学基础研究的主要任务是：绘制出“在什么样的原则下可以发展出什么”数学图景。证明论、递归论(反推数学)、集合论的现代发展都关注这样的问题。

就本文的主题而言，首先需要思考：辨别或者选择数学基础研究的一个逻辑是否违背反基础主义的精神？进一步地，如果有一个这样的逻辑，是否就预设了这个逻辑比那个逻辑“正确”？这个预设是否与反基础主义的主张相冲突？本文的回答是：选择数学的逻辑基础并不与反基础主义的精神相冲突，这是因为，哲学家或逻辑学家选择某种逻辑不是以这个逻辑更能最大限度地免于理性质疑为标准，而是以提供更好地反映数学性质的模型为标准。在这样的背景下，数学基础的研究离不开二阶逻辑。

二、主张一阶逻辑的理由及其不必要的“担忧”

一阶逻辑之所以被许多逻辑学家或哲学家所接受的一个原因，是一阶逻辑的语义与语法的完全的匹配性：一阶逻辑的语法后承与语义后承一致——一阶逻辑有语义一致性和完全性。但是这并不能作为一阶逻辑是数学的逻辑基础的理由。因为如果具有完全性是合法逻辑的标准，那么词项逻辑、命题逻辑也能成为数学研究的逻辑基础。但这显然是行不通的。

从历史的角度看，一阶逻辑不是出现于高阶逻辑之前。弗雷格的逻辑系统本身就是一个二阶系统。也就是说，一阶逻辑作为数学的“根”并不是研究者最初的愿望。对于一阶逻辑的出现，有人归功于莱文海姆(L. Lwenheim)，因为他于1915年对“关系表达式”和“个体表达式”做了区分，认为后者只有个体变元；他的Lwenheim-Skolem定理关注的是莱文海姆系统的一阶部分。(Moore, pp. 120－121)希尔伯特1929年首先提出一阶逻辑的完全性的问题，它的证明由哥德尔1930年给出。一阶逻辑的出现与发展是数理逻辑发展史上的重要成果。而强调二阶逻辑在数学基础研究中的作用，根本不是要否认一阶逻辑的作用，相反，强调者认为一阶理论的研究成果对于二阶逻辑的研究非常重要。他们强调的是二阶逻辑对数学研究的“服务”作用，反对只承认一阶逻辑合法性的观点；同时，他们也认为二阶逻辑能够提供更好地反映数学性质的模型，它在反基础主义精神下的认识论也优于一阶逻辑。本文的第三部分将会详述这些观点。

既然一阶逻辑有这样的局限性，为什么一些哲学家或逻辑学家会拥护它？

先来看一看当代哲学家支持一阶逻辑的原因。蒯因认为二阶逻辑的语义学涉及到“类”的概念，这就使得逻辑超越了逻辑与数学的边界，而他认为数学和逻辑应有清楚的边界。一个理论的本体承诺是以这个理论的约束变元的取值范围而定的。约束变元的取值范围以内的都是理论在本体上可接受的。(Quine, 1970, p. 72)值得注意的是，蒯因是一个整体主义者，他认为逻辑、数学和科学之间没有清楚的边界，应用于科学理论中的数学对象也是科学理论所承诺的本体。(ibid, 1951, pp. 42－46)但是从蒯因的论证不能得出数学和数理逻辑之间应有清楚的边界。从数理逻辑的技术上看，一阶逻辑的语义学无不涉及数学的概念，比如函数等概念。因此，我们无法在数学与数理逻辑之间画出一条清楚的界限。

另一方面，一阶理论比如一阶算术理论，会涉及自然数上的函数，而函数本身也是一种关系，这样一阶算术理论也涉及个体域上的关系类。但是蒯因认为这不涉及承诺这些子类的本体论地位，因为这个理论并没有二阶约束的关系变元。然而对于二阶算术理论而言，约束关系变元的取值是所有个体域的关系类。简单说，主张二阶逻辑的人认为所有的个体域上的关系类都是合法的、清楚的。因为给定个体域，这个域上的所有子集是清楚的。但是主张一阶逻辑的人认为只有一阶可定义的子集才是清楚的。这是他们的第一个分歧点。

不可否认的是，二阶逻辑的语义学确实涉及集合论的知识，比如连续统假设是否是二阶有效的就是一个集合论问题，良序公理是否二阶有效也是一个集合论问题。从这个角度看，蒯因认为二阶逻辑披着“集合论”的外衣，因为它涉及“集合”的讨论，在论题上没有中立性，而逻辑应该在论题上保持中立，即它的有效性是不依赖于某些特殊的数学对象——如集合——的预设性质的。但是如果采用彻底的整体主义，认为数学与逻辑没有清楚的界限，某些命题的语义有效确实可以依赖于某个数学分支的特殊知识。(ibid, 1970, pp. 64－70)这样虽然二阶逻辑按照蒯因的解释，本体论承诺的东西增加了，但是不能因为本体论承诺的东西增加了，就否定二阶逻辑的合法性，毕竟一阶理论也涉及讨论个体域的子类。进一步地，由于逻辑与数学没有严格的界限，我们就可以从某些数学分支——集合论的成果，给出某些公式是否是二阶有效的评价标准。关于二阶语义是不清楚的批评也是牵强的，因为只要个体域确定了，所有个体域的子类就确定了，它们是清楚的。

司寇仑也是一阶逻辑的拥护者，他早在20世纪20年代就对二阶逻辑提出过批评。他主张公理化应是一阶的，因为他认为二阶语义是不清楚的，如上段所述。(Skolem, p. 517)这里的担心似乎是，当讨论子类时语义之所以不清楚，是因为我们对“类”的概念直觉上是不清楚的，罗素悖论以及素朴集合论就是这样的例子。

但是当罗素悖论发现时，对于戴德金、皮阿诺的逻辑工作并没有影响。因为二阶算术公理系统与二阶分析系统分别刻画了自然数结构和实数结构，然而却没有矛盾。只有素朴集合论与弗雷格的理论出现了问题。

在今天看来，只有把“逻辑集合”(logical sets)与“迭代集合”(iteration sets)搞混了，才会出现矛盾。“逻辑集合”是一个与语境有关的概念。当论域给定了，这个论域的所有子集都是逻辑集合。“逻辑集合”具有布尔结构。“全集”就是论域，逻辑集合的补就是论域与逻辑集合的差，它仍是逻辑集合。原子(urelement)的“迭代集合”构成了集合论的论域。迭代集合的直观就是集合的集合的集合……迭代集合不具有布尔代数结构。没有一个迭代集合有补。例如空集是迭代集合，但是没有全集，因为所有迭代集合的类不是迭代集合，它是一个真类。罗素悖论说明：存在一些“逻辑集合”不是“迭代集合”。弗雷格的“概念”类似于“逻辑集合”，尽管他区分了对象和概念，但是他又把每一个概念与一个对象相联系，也就是每一个概念的外延也是一个对象。这样“不属于自身”是一个谓词，它可以确定一个概念(弗雷格的内涵公理)，这个概念的外延是一个对象。(Detlefsen, p. 62)那么根据他的公理5，这个概念的外延属于这个概念的外延，当且仅当它不属于这个概念的外延。这样就得到罗素悖论。此时弗雷格就是把概念的外延又看作了对象，混淆了“逻辑集合”与“迭代概念”。类似地，集合论的悖论，比如最大序数悖论，也是混淆了“逻辑集合”与“迭代集合”。

如果重构数学理论的目的不再以寻找安全的基础为目的，而且仔细处理“逻辑集合”与“迭代集合”的区分，就不会有问题。主张二阶逻辑的学者并不否认二阶语义不像一阶语义那样明确，因为它确实涉及“集合”。但是不能否认直觉在数学中的作用。我们可以坚持关于子集的直觉上的概念，提供某些数学结构的二阶理论刻画。

如果按照司寇仑的观点，所有公理化都应是一阶的，就会产生相对主义的结论，即理论可以有不同构的模型，每一个范畴性的证明只能在同一个模型中得到证明。比如一阶算术有非标准模型，它与标准的算术模型不同构，但是在ZFC中，一阶算术结构都是同构的。也就是说，一阶理论自身并不能决定哪个才是真正的“算术模型”。相对主义的观点也蕴涵着某种怀疑论的主张，即没有“真正的”算术模型、实数模型、ZFC模型。对于这种相对主义或怀疑论的观点，多数数学家是不接受的。

一些哲学家还给出一阶逻辑的后承关系在认识论上的重要意义，以此作为主张一阶逻辑的理由。后文对此有重点评论。

三、主张二阶逻辑的理由

本部分重点讨论：从数学基础研究的结果论证二阶语言，确实可以提供更好的数学性质的模型；二阶理论的认识论要比一阶理论的认识论更加自然。

这里有一个很自然的疑问，为什么数学家或哲学家只是支持一阶逻辑或二阶逻辑，而不主张三阶逻辑，或n阶逻辑？实际上二阶逻辑与高阶逻辑没有实质上的不同。夏皮罗证明了如下事实：在某种意义上，高阶逻辑可以还原为二阶逻辑。(Shapiro, chap. 6)这是因为二阶逻辑足够刻画类与其元素间的属于关系。这样，高阶的逻辑关系都可以在二阶逻辑中被模拟。限于篇幅，有关的证明这里不再叙述。如果我们发现二阶语言可以模拟所有高阶语言，那么二阶语言就包含了元理论所需要的足够素材。下面从两个方面来论证二阶逻辑的益处：首先，二阶逻辑在数学基础的实践中确实有“服务”的作用；其次，二阶逻辑可以提供更为自然的认识论。

1.数学基础研究的实践对二阶逻辑的支持

首先，我要论证的是一阶语言表达力的贫乏。这包括一阶语言无法表达某些重要的数学性质，而这些性质是刻画某些数学结构的重要方面。下面只是举出几个例子，它们与自然数结构、实数结构有关。结论是一阶逻辑无法刻画某些数学结构，而二阶逻辑可以刻画这些数学结构。其次，我从模型嵌入的技术，说明二阶语言在这种技术上的必要性。

(1)一阶语言对于某些重要的数学性质“无力”表达。一阶语言无法表达某些重要的数学性质，相反，二阶逻辑能够表达这些性质。

定理　任意一阶语言的所有有限结构组成的类不是初等类。

一阶语言的良基结构的类不是初等类。

一阶语言的良序结构的类不是初等类。这些定理的证明在许多教材中都可见到。(参见叶锋，第163－164页)这些结果表明一阶语言不能表达有穷性、良基性、良序性。它们的证明都是相似的，主要用紧致性定理证明。

但是在数学实践中，数学家会讨论有穷结构，比如有穷群，这样用一阶语言就无法刻画有穷群的结构，也就是说用一阶语言无法给有穷群理论形式化。同理，良序结构、良基结构也无法用一阶语言刻画。但是这些性质在二阶语言中都能表达。

由一阶逻辑的Lwenheim-Skolem向上定理决定了无穷结构是无法用一阶语言刻画的。

Lwenheim-Skolem向上定理　设A是一阶语言L的无穷结构，则对任何基数α≥‖L‖，都有基数为α的结构B使得这两个结构初等等价。(证明参见叶峰，第171页)

标准的自然数结构、有理数结构、实数结构都是无穷结构。这些结构都无法用一阶语言描述。所以一阶自然数理论、一阶分析理论都不是范畴的。但是二阶语言对于自然数结构、有理数结构、实数结构都可以刻画。

一阶算术模型甚至不是阿列夫零范畴的。一阶算术的非标准模型恰是这个说明。对于某些数学概念比如自然数、有理数，常常用最小闭包给出：自然数就是包含0，1并且对加法、乘法封闭的最小集合；有理数就是包含自然数并且对加法、减法、乘法、除法封闭的最小集合。最小封闭的概念在数学家看来是一个清楚的概念。最小封闭在证明上述二阶范畴定理中起着关键的作用。一阶算术理论为什么不是阿列夫零范畴的？主要是因为一阶算术公理系统的归纳公理是一个包含无穷条公理的公理模式，它没有涵盖完所有的自然数子集，而只是断言了一阶可定义的子集。但是对于那些不能一阶可定义的子集，在一阶的语言下是无法提及的。这就使得有元素落不到某些包含0并且对后继运算封闭的集合里。

也许对于像司寇仑这样的怀疑主义者看来，最小闭包是一个虚幻：一阶语言无法给出这样的闭包，恰是这个闭包不存在的证据。纵观对相对主义或怀疑主义的批驳，实际上都不是十分令人满意的。因为它们的出发点本身就不一样，各自站在分歧点上去论证各自的立场。比如，司寇仑认为二阶的语义不清楚，任何理论的形式化都应该是一阶的形式化。(Moore, pp. 123－127)但是在二阶逻辑的主张者看来，二阶语义是清楚的。一旦论语给定了，这个论域上的幂集以及这个论域上的关系就确定了。退一步说，二阶语义即使不如一阶语义清楚，它也含有丰富的素材，使得我们可以更好地刻画某些数学结构。在司寇仑看来，也许算术结构、实数结构本身也可以是那些非标准的结构，没有同构意义下的唯一算术结构、实数结构。类似地，相对主义者或怀疑主义者看来也没有良序结构、良基结构，因为一阶语言对于这些结构的性质无法描述也是这些结构是虚幻的证据。但是二阶逻辑的主张者会反驳说，数学家可以成功地交流，说明他们对于算术结构的理解是一样的，这个算术结构是唯一的。类似地，实数结构也是唯一的。

但是主张二阶逻辑的夏皮罗自己也承认，到目前为止，二阶逻辑的主张者的论证无法给出对相对主义的满意批驳，其主要原因就是论证的出发点只是一阶逻辑主张者的反对观点。(Shapiro, p. 196)然而从这个意义上，也能够得出结论，即一阶逻辑的主张者也没有给出对二阶逻辑的主张者的满意反驳。本文所提出的二阶逻辑的主张实际上是一种工具主义的主张，即只要某种逻辑对于研究经典数学基础是有用的，那么经典数学的基础就不能排斥这种逻辑。

必须承认的是，虽然二阶逻辑的主张者对于相对主义或怀疑主义者的反驳并不是非常令人满意，但是从数学实践来看，一个数学家不会先看一下他研究的数学对象是否是一阶可定义的，获得批准后才放手研究。一阶逻辑并不是逻辑的终极，一阶语义后承关系并不是唯一的后承关系。只承认一阶逻辑而否定二阶逻辑在数学基础研究中的作用，实际上就是只承认一阶逻辑的推理是数学中唯一有效的推理。然而为什么只有一阶逻辑的推理才是正确的推理？不得不说对这个观点的辩护多多少少带有基础主义的色彩。

(2)模型的嵌入需要二阶理论。上文已经陈述了当今数学基础研究的重要任务是给出数学理论之间的联系，试图描绘出整个数学图景。要做到这一点，模型的嵌入是一个重要的技术，它可以说明不同的数学理论之间的相互关系，比如在实数结构中可以定义出“自然数”、“有理数”。但是模型的嵌入需要二阶的语言，所以说在数学基础研究中二阶逻辑确实有用。

如果一阶逻辑的主张者不是相对主义者，并且认为算术结构等一些数学结构还是唯一的(同构意义下)，那么就会承认一阶语言的局限性。进而还会发现，如果只有一阶理论，那么就很难在不同的模型下考虑模型的嵌入问题。因为一个模型嵌入到另一个模型中，要考虑另一个模型的子模型，它与被嵌入的模型同构。但是被嵌入的数学结构如果是无穷结构，或者说是无法用一阶语言描述的结构，我们怎么说明这个被嵌入的结构就是那个大模型的子结构？所以模型的嵌入的元理论所用的是二阶理论的素材，需要二阶理论对嵌入模型的刻画。

2.二阶理论的认识论更加自然

在克雷斯看来，一阶理论的公理模式之所以被接受是因为接受了相应的二阶公理。所以二阶语言在认识论上更加自然。(Kreisel, p. 167)丘奇也曾论证数学理论的高阶形式化直接、自然。(Church, p. 317)蒙太古(R. Montague)也指出非形式的却应用广泛的算术的、分析的标准模型，可通过二阶理论的模型得到解释。(Montague. p. 131)这些数学家或哲学家都主张二阶语言在数学基础研究中的作用，即主张除了一阶逻辑之外，还应该承认二阶逻辑的作用。

我认为克雷斯和布勒斯(G. Boolos)虽然从不同的角度论证二阶逻辑的认识论更为自然，但是他们的论证都强有力地说明了二阶逻辑在数学基础研究中的重要作用。

克雷斯的论证首先从问题开始：一阶理论如果有一条公理模式，它代表着无穷条公理，那么选择这条公理的依据是什么？比如一阶算术理论的归纳公理是公理模式，一阶实数理论的完全性公理也是一条公理模式，它们比二阶的归纳公理和二阶的完全性公理要弱。(Kreisel, pp. 167－171)自明性或者说从直觉上看是真的，不足以说明问题，因为克雷斯会反过来说，二阶的公理更加直接、清楚，而且自明。一阶公理模式含有无穷条公理，主张一阶逻辑的数学家或哲学家有责任说明为什么接受这一条条的公理实例。显然，一阶逻辑的主张者不能说这些公理(进而，这些系统)能刻画数学家想要的结构，因为在前面已经论证了这些理论都不是范畴的。这些理论的非标准模型很多。也许一阶逻辑的主张者会说这些公理模式陈述了这样一个事实：“每一个一阶可定义的集合具有公理所述的性质”。那么克雷斯立即就能反驳，“一阶可定义”本身不能用一阶语言表达，也就是说一阶逻辑的主张者在元理论中使用了二阶的语言。

一阶逻辑的主张者强调一阶逻辑的语义后承关系有重要的认识论意义，因为它是递归可枚举的。如果一个论证是一阶有效的，就会有一个可检测的机械演绎，它能从这个论证的前提推出结论。而二阶逻辑的语义后承关系不是递归可枚举的，所以它不具有这样的“优越性”。一阶逻辑的语义后承确实是递归可枚举的，问题是，当一个论证是一阶有效的，怎么找到这个可检测的机械演绎？布勒斯用一个例子来说明给出一个论证的一阶证明几乎是无法完成的。他的例子直观上是Ackerman函数对于自然数封闭。(Boolos, p. 1)这个一阶论证的前提是：

结论是：

Dfssss0ssss0布勒斯说明这个论证用典型的一阶逻辑系统写出的最短证明，也将会很长，几乎这个最短的证明不可能在现实世界写出，更别说人类可以认出这个证明是一阶有效的。但是这个论证在二阶语义上却可以很快知道是一个有效论证。(ibid, pp. 1－12)

这个例子说明，后承关系的递归可枚举并不意味现实的可行性。最为关键的是一阶逻辑的后承关系并不能模型化人类所有的有效推理。所以从这点看，一阶逻辑后承关系的特殊性也不再有认识论上的优越性。

综上，本文提出一个较为温和的工具主义的主张：一阶逻辑固然在数学基础研究中起着重要的作用，但是二阶逻辑也在数学基础研究中有其特殊的作用，二阶逻辑也是经典数学的逻辑基础。

（原载《哲学研究》2012年3期）