任一语词形式(词项)和语句形式(公式)皆有两重意义，这就是外延意义和内涵意义。用辩证逻辑的观点看：外延意义和内涵意义必然是相反互蕴的。既然作为外延意义的形式逻辑已经完成了其形式化研究，那么作为内涵意义的辩证逻辑，其内涵的形式表现到底是什么呢？很明显，如果我们对内涵的形式表现没有一个清醒的认识，那么我们就无法对作为内涵逻辑的辩证逻辑进行形式化研究。现首先初步说明内涵逻辑的形式表现到底是什么？

 

一、从外延性排除否定走向内涵性反衬否定

 

自莱布尼茨(1646～1716)提出逻辑数学化的思想以来，逻辑学家和数学家们实际上是从内涵和外延这两个方向进行逻辑数学化研究的——如同莱布尼茨的最初设想一样。但实践证明，内涵逻辑的数学化屡不成功，而外延逻辑数学化的突破口在莱氏提出将逻辑数学化思想之后一百多年终于被G．布尔(1815～1864)和A．德摩根(1806～1871)打开了，初步实现了莱氏的一部分设想，其理论成果分别是逻辑代数(类代数与命题代数)和关系逻辑。此后，G．康托尔(1845～1918)创建了集合论，使数学基础的研究导向了集合论。G．弗雷格(1848～1925)的主要兴趣在数学基础方面，这种研究促使他成功地把数学中的函数概念引入逻辑演算中，用更抽象更根本的谓词函项表示逻辑中的性质和关系即属性，并用量词限定谓词函项中的个体变元，如F(x)中的x、G(x,y)中的x与y。量词理论的提出，使上述的谓词函项均具有了真值。由此，弗雷格第一次构造出一个初步自足的命题演算和一阶谓词演算公理系统，并把布尔开创的原子命题间的真值演算和他自己开创的原子命题内的量词演算统一起来了。其后，皮亚诺发明了一种精致明晰的逻辑表意符号，对罗素的影响极大。罗素继承和发展了前两人的工作，改进了弗雷格的表意符号语言，扩大和丰富了现在称之为经典外延逻辑演算的形式系统。此后，外延逻辑的形式化获得了纵深的发展，产生了现代逻辑的三大成果：哥德尔不完全性定理，塔斯基形式语言真理论，图灵计算机和判定问题。上述两百多年来的一系列成就，似乎给人们一个映象：逻辑的形式化只能是外延的形式化，内涵的形式化是不可能的。从此，内涵逻辑的形式化就无人问津了。

但从莱布尼茨逻辑数学化的初衷看，他更看重内涵演算。他曾设想，根据逻辑演算，思维和推理都可用计算来代替，遇有争论就可用计算来把问题解决。人们争论问题，大多涉及的是所反映的对象世界的具体知识问题。知识是用命题来表述的，对象世界的具体知识均以命题中的主项和谓项来体现(由名词、动词、形容词等实词为主体来构成命题的主谓词串)，因此，知识的演算主要是涉及命题中的主谓词串的演算。若用此标准来审视弗雷格开创的一阶谓词演算公理系统和罗素扩大和丰富了的现在称之为经典外延逻辑演算的形式系统，则可以发现：外延逻辑的演算其实根本就没有触及到主谓词项的演算，所谓一阶谓词演算其实是名不符实的。说白了，上述一阶谓词演算的一系列成果仅只是关于一切命题的抽象形式的变换，即逻辑词项的变换，而对于人类的思维来说，最重要的演算却应该是关于一切命题的具体内容的变换即主谓实词串的变换。对于后一种变换，外延逻辑(关于逻辑虚词项的逻辑)无能为力，为要解决此问题，非内涵逻辑(关于描述实词串的逻辑)莫属。由此观之，运用目前的一阶谓词逻辑不可能从根本上解决知识的推理演算问题，这从日本1982年～1992年10年的知识推理机(智能机)试制的失败中可以得到验证。莱氏的理想只实现了一部份，而且还不是其主要部份。对当今信息社会的时代要求来说，目前的一阶谓词逻辑并不能使我们感到心满意足！

对内涵逻辑来说，用仅只是研究一切命题的逻辑词项(中世纪称助范畴词)及其变换的外延逻辑根本就不可能解决思维内容的形式演算问题——因为构造这种逻辑的逻辑学家们根本就没有考虑过思维内容的演算——要解决此类问题，就必须在继承逻辑词项演算的基础上，进一步构造出涉及一切命题的描述词项(中世纪称主范畴词)及其变换的内涵逻辑。

粗略地说，外延是指语言之外的事物(言外之意——所指)，它是由言语词串的内涵来确定，而内涵是指语言之内的思想(言内之意——能指)，它是由言语词串的合成含意来表达。也可以说，外延是思维之外所指性的或外观形象性的(可几何化－图形化是其典型)，而内涵是思维之内能指性的或内省抽象性的(可代数化－计算化是其典型)。

对外延逻辑来说，思维之外所指性的或形象性的用名称来指称，其演算是关于名称的类集演算以及与类集演算同构的命题的真值演算(此即对作为命题之外延的判断的外延值的演算)，抽象布尔代数系统及其多种具体的模型(集合论、命题代数、开关代数、概率论等)，正适合于解决此类外延逻辑的形式演算问题。

对内涵逻辑来说，思维之内能指性的或抽象性的用词串(无论是反映事态的主词串还是反映事态情况的谓词串)来述谓，其演算只能是针对词串本身的演算——因为很明显，我们必须把看不见摸不着的概念或命题的思想，代换到其载体即实实在在的具有线性特征的概念词串或命题词串之中，才可能进行演算，这对于智能计算机来说更是如此。这是一种完全不同于外延性布尔代数演算的新思路，《易经》象数学之纵横二进制阴阳组合排列系统及其诸多层次卦象内诸爻象的变换，正适合于解决此类内涵逻辑的形式演算问题！——因为《易经》诸多层次卦象内1个爻位的变换即1个 的“0与1”的信息变换，而 个爻位的变换即 个 的“0与1”的信息变换，而这 个 的“0与1”的信息变换，其种种不同的具体赋值，其实就可以解释为是词串长度为 的 个实词项的正反变换！

而否定，无论对哲学还是对逻辑学来说，都是一个根本性的范畴。可以形象地说：否定是高悬于理性世界之上的一柄双刃剑！谁握住了这柄双刃剑，谁就有可能鸟瞰整个理性世界的种种矛盾观念，并破析宇宙间的种种玄奥深远的矛盾问题。

我们知道：逻辑学的外延否定算子是“ ”。“ ”在外延逻辑的5大真值演算子( 、∧、∨、 、 )中的地位极为独特，要构造任何一种逻辑的形式公理系统都不可能离开它：有的逻辑系统用 和∧作初始概念，如布尔；有的逻辑系统用 和→作初始概念，如弗雷格；有的逻辑系统用 和∨作初始概念，如罗素。这倒底是为什么？难道说，“ ”是任何形式公理系统的根？

提出一个正确的问题，往往意味着此问题已经解决了一半！

笔者在这里要慎重地提出这样一个问题：在数理逻辑中，已经获得公认的其逻辑地位高于任何逻辑常项的外延否定算子“ ”有没有自已的反题？对于这个问题，除了“是”或“否”之外，再没有第三条路可走了！

经典数理逻辑学家们一向认为：没有！因为如果有，凭借着他们深厚的逻辑功底，其结论早就该见诸于世了。然而事实上，由于他们的逻辑眼界仅限于外延逻辑的形式化，因此至今也没人能找到其反题！哲学中还有一个比外延性的逻辑否定( )更为深广的否定：内涵辩证否定，它能否进入一阶谓词演算系统中呢？逻辑矛盾命题的形式可用 ∧ 或 表示，那么辩证矛盾命题用什么形式来表示呢？

笔者假定对这个新提出的问题已经开始理论起来了……

按照目前的对立状况，经典数理逻辑学家们的外延否定观肯定会占上风，别的理由我暂且不论，现仅只假设某正统数理逻辑学家问：“你们说有，请拿出来让我们见识见识，行吗？”若辩证逻辑学家们班门弄斧，硬要用对方深谙其道的逻辑否定算子“ ”来表达自己的不同于外延否定的辩证内涵否定算子，则其结局就可想而知了……

“反者道之动”(老子)。我们不愿重蹈覆辙，我们将反其道而行之。著名科学哲学家汉森曾经说过一句名言：“理论决定观察！”——而我们的理论，就是辩证逻辑。

现在，就让笔者用反向思维作一组实证性的推占预测吧：

(1)既然作为正题的非演算子具有外延排除的功能，此功能含有剔除、丢弃、排除、拒斥被否定者之外延的意义，那么作为其反题的反演算子就应该具有内涵反衬的功能，此功能含有挑取、拾起、吸收、容纳被否定者之内涵的意义；

(2)既然非演算子的符号形式是直线形状的，即“ ”，那么反演算子的符号形式就应该是波线形状的，即“～”；

(3)既然非演算子不涉及思想的具体描述内容而仅只涉及思想的抽象逻辑形式，那么反演算子就必须不涉及思想的抽象逻辑形式而仅只涉及思想的具体描述内容；

(4)既然非演算子否定的是命题中的逻辑常项(在自然语言中它们代表具有固定意义的量质常项——虚词词项)，那么反演算子否定的就应该是命题中的逻辑变项亦即描述变项(在自然语言中它们代表具有变化意义的主谓变项——实词词项)；

(5)既然非演算子要作用于任何判断的真值并使其真值翻转颠倒过来(此即正非判断间“只能一真一假，不能同真同假”)，那么反演算子就应该不作用于任何判断的真值并使其真值一直保持下去(此即正反判断间“只能同真同假，不能一真一假”)；

(6)既然非演算子因不涉及丰富经验内容故其否定是单一的不含对象丰富内涵的简单否定，那么反演算子因要涉及丰富经验内容故其否定是多样的要含对象丰富内涵的复杂否定；

(7)既然经非演算子否定后的命题与原命题间的关系是逻辑矛盾关系——它来源于对在者断言的不可兼容的“存在或非在”，那么经反演算子否定后的命题与原命题间的关系就应该是辩证矛盾关系——它来源于对在者矛盾的可兼容的“正者与反者”；

(8)既然非演算子已经被公认为是外延逻辑的基本算子，其存在性是不容置疑的，那么反演算子必将被公认为是内涵逻辑的基本算子，其存在性也是不容置疑的；……

凡上述种种实证性的推断，要么证伪，要么证实，不容许有任何含混之处！如果辩证逻辑是科学，那么它就必须接受逻辑实践的检验。

其实，按照辩证逻辑的思辨天机，上述一系列涉及反演算子(～)的内涵结论早已潜在地隐含于其前提算子——非演算子( )——的内涵之中了！我的推断只不过是将这种潜在的玄机，用辩证逻辑所特有的“内涵反演推断法”(～)尽力泄露出了一部份来而已。

不知黑格尔自己知不知道，其实他的思辨逻辑的玄奥至理极为简单，这就是“内涵反衬”或者“内涵反演”！用中国古代辩证法大家老子的话说，这就是“反者道之动”。

按照我对黑格尔思辨客观唯心论的理解(其实,思辨客观唯心论之思想本来就是内涵性的，而实证客观唯物论之思想本来就是外延性的）：宇宙就是按照内涵相反互蕴的“绝对理念”或“客观精神”外化出来的，或者干脆说，“上帝”(神)以内涵相反创造世界！

在数理逻辑中，任何数理公式中的逻辑常项均是实实在在的，每个逻辑常项均有其固定的、不变的逻辑涵义，任何数理公式的形式均由它们来决定。而非演算子( )均可直接或间接地作用于任何逻辑常项[1]，这是其它逻辑常项皆不具备的。这就是说，非演算子( )可以改变任何逻辑公式的形式，使所得形式成为与原形式呈互为逻辑矛盾的形式公式。亚里士多德认为逻辑最根本的规律就是无逻辑矛盾律(即通常所说的矛盾律)，而无逻辑矛盾律的形式表达显然不可能离开非演算子( )。与此完全相反，任何数理公式中的描述变项均是空空荡荡的，每个描述变项均无其固定的、不变的描述涵义，任何数理公式的内容均由它们来决定。而反演算子(～)均可直接或间接地作用于任何描述变项[2]，这也是其它逻辑常项皆不具备的。这就是说，反演算子(～)可以改变任何逻辑公式的内容，使所得内容成为与原内容呈互为辩证矛盾的内容公式。黑格尔认为逻辑的最根本的规律就是有辩证矛盾律，而有辩证矛盾律的内容表达显然不可能离开反演算子(～)。任何数理公式，其逻辑常项皆是实在的，是可以明确把握的，而描述变项皆是空虚的，是必须依据对象的认识赋予具体内容值的。

老子说：“三十辐共一毂，当其无，有车之用；埏埴以为器，当其无，有器之用；凿户牖以为室，当其无，有室之用。故有之以为利，无之以为用。”(《十一章》)

此比喻寓意深刻：车轮辐毂之“有”，形成毂中之“无”，唯其“无”，才有车旅之用；陶土制器之“有”，形成器中之“无”，唯其“无”，才有盛物之用；门窗四壁之“有”，才形成室中之“无”，唯其“无”，才有居住之用。故“有”给人以便利条件，“无”才得以发挥其运用功能。同理，由非演算子“ ”以及其它逻辑常项所决定的命题形式，如同车毂、器皿、房屋一样，给人们准确灵活地运用辩证逻辑赋予变项空框以内涵性实词词串的相反值带来了极大的便利条件，正因为“～”可作用于“无”中之有——被否定命题之主谓变项(无)所容纳所装载的实词词串(有)，故人们的辩证思维才得以发挥其科学发现逻辑的认识功能！而这种科学发现逻辑的认识方法——内涵反演推断法，就是作用于描述变项这一能够容纳内涵相反实词词串(有)之空框(无)也。

可以概括地说：“反者道之动，空者道之用”，这就是老子辩证逻辑的核心思想！

 

二、对指称述谓式之内涵和外延意义的界定

 

在讨论本文之主旨——逻辑推理基础类型之外延与内涵间的相互转换定律——之前，有必要简述一下词项和公式的外延意义和内涵意义，并进一步说明“所指”、“名称”、“描述”、“意谓”、“形式”之间的基本序列关系，这就是指称述谓式(简称指意式——“意”为中间联系项，“指”和“式”为两端对立项)的逻辑意义问题。

根据语义学的通常看法，一般说指意式的意义(Meaning)是指古希腊斯多葛学派称之为“有所意谓的东西”(Lecton)。它指的是可由物质性的声音或书写出来的指意式本身( )所承载所表达的、为人们所理解并客观地存在于人们头脑中的有意义的东西( )。

所谓意义(Meaning)，既可是内涵意义( )，也可是外延意义( )，还可是既有内涵又有外延的混合意义( )。而指意式的所指(Objct)，就是该指意式之意义所谈及所指谓的客观事物或客观对象本身( )，它们是被指称被述谓者。这被指称被述谓者既可是物质客体(原子、分子、植物、动物等等)，也可是精神客体(如数学客体、逻辑客体、以及作为研究对象的亚里斯多德的《工具论》、黑格尔的《逻辑学》、人类的精神世界，等等)。由于指意义式本身既可代表描述词(个体词、谓词)和逻辑词(量词、系词、真值词、真值联结词、模态词等)，又可代表由描述词和逻辑词共同构成的原子公式或分子公式，因此这里还要具体地对这些词项及公式的内涵意义或外延意义，一一加以界定。现分述于下：

1.个体式的内涵就是个体概念。个体概念的语言标记是个体词串(如摹状词)，个体词串是可演算的。个体式的内涵演算就是个体词串(摹状词)所承载的个体概念的演算，其演算结果也用另一个体词串(摹状词)承载结果的个体概念。

2.个体式的外延就是个体概念所指的个体。个体本身是不可演算的。个体的语言标记是个体名称(如专名)，个体名称(如数名)是可演算的。个体式的外延演算就是个体名称(如数专名)的演算，其演算结果也用另外的个体名称表示结果的个体。

3.谓词式的内涵就是谓词概念。谓词概念的功能就是描述对象事态(由“对象-条件-时间-空间”四者之合构成)的性质或关系。谓词概念的语言标记是谓词词串，谓词词串是可演算的。谓词式的内涵演算就是谓词词串所承载的谓词概念的演算，其演算结果也用另一谓词词串承载结果的谓词概念。

4.谓词式的外延就是谓词的对象域(使该谓词函项为真的一元或 元个体有序组的类集所表示的论域)。对象域本身是不可演算的。谓词对象域的语言标记是类集，类集是可演算的。谓词式的外延演算就是表示谓词对象域的类集的演算，其演算结果也用另一谓词类集表示结果的谓词对象域。

5.逻辑词的内涵就是逻辑概念。逻辑概念意谓语言的逻辑关系。逻辑概念的语言标记是逻辑词，逻辑词是可演算的。逻辑词的内涵演算就是对逻辑词所承载的逻辑概念的演算，其演算结果也用另一逻辑词承载结果的逻辑概念。

6.逻辑词的外延就是逻辑概念所示的语言的逻辑关系。逻辑关系的语言标记也是逻辑词。逻辑词的外延演算就是对语言中相应逻辑关系的演算，其演算结果也用另一逻辑词表示结果的逻辑关系。

7.公式的内涵就是命题思想。命题思想的功能就是描述对象事态的情况。命题的语言标记是命题词串，命题词串是可演算的，其演算对象就是构成命题思想的描述词项(主谓词串)和逻辑词项。公式的内涵演算就是对命题词串所承载的命题思想的演算，其演算结果也用另一命题词串承载结果的命题思想。有时为了简便，也可将公式的内涵即命题思想本身直接用命题来代表。

8.公式的外延就是对命题思想所指对象事态之情况的判断本身。对象事态之情况本身是不可演算的。命题思想是否对应相应对象事态及其情况的语言标记是真值(真或假)，真值是可演算的。公式的外延演算就是对标示对象事态及其情况之有无(存在或不在)的断定演算，其演算结果也用断定标示另一对象事态之情况的有无(存在或不在)。为了简便，有时也可将公式的外延即判断本身(对命题思想的真假断定就是公式的外延)直接用真值来代表。

这里有必要明确指出，对8.所讲的外延指意式，是仅就公式而言而不是对词项而言的。经典数理逻辑认为：公式的外延不是指判断而仅只是指公式的外延值即真值(真或假)。

其实，命题思想(公式的内涵)，命题的外延值(真值)，命题的外延(判断)，命题所指的事情(反映对象)，此四者的意义是根本就不相同的，其相互间的关系应该是：

命题思想*真值＝判断 所指*在值．

命题思想*(真或假) 所指*(存在或非在)．[3]

这就是说：只有不同命题的外延(判断)才能一一对应( )着不同命题所指的事情之存在或非在。因为不同内涵的命题思想是无穷无尽的，而其所对应的对象世界的事情也是无穷无尽的。而真值(只有真或假两值)仅只是判断(由命题思想即公式的内涵与真值之合(*)才能构成判断)中对命题思想是否对应所指事情之存在与否所作的断定。由此，真值(外延值)仅只是命题外延(即判断)的标志而不是命题外延(即判断)本身。由于经典的外延数理逻辑根本就不研究公式的内涵演算，因此命题思想即公式的内涵是否在演算中发生变化以及如何变化皆是外延数理逻辑不必考虑的问题——这就使判断(命题思想与真值之合)与真值变成好象是同一的了。由此，二值外延逻辑对命题外延即判断的演算就往往蜕化为仅只是针对判断所内含的真值(外延值)的演算了。

弗雷格有一句引起后人百思不得其解的名言:“句子的意味就是它的真值”。^[4](P98)

若仔细分析弗雷格的判断形式⊢ ，就可知“− ”代表句子 的内涵(笔者用 表示)，其水平线“−”就是标示 的内涵意义线(即内容线)，其竖杆“|”就是对“− ”即对 之内涵意义的断定线(笔者用 表示)。由此可知：“⊢ ”在弗雷格眼中表示的就是判断，它就是命题 之内涵意义(−)与其为真断定(|)的合一。其中“⊢”既表示了 的内涵意义“−”，又表示了对 内涵意义“−”的肯定断定“|”即“⊢”。“句子的意味就是它的真值”仅只是弗雷格的一种研究二值逻辑之句子外延的一种方便说法而已。而其后的逻辑学家们却把这种方便说法曲解为“句子的外延就是真值!”——其实，真值有真(⊢)或假(⊬)二值，“⊢”仅仅是肯定性的真值，其否定性的真值是用“⊬”表示的。

通常，人们对弗雷格这句名言中的“意味”一词有多种解释，大多倾向于“句子的意味就是其真值，真值就是句子的外延”这种解释，但这种解释又多有不妥之处。因为弗雷格也曾说过：“如果一个句子的真值就是它的意味，那么一方面所有真句子就有相同的意味，另一方面所有假句子也有相同的意味。由此我们看出，在句子的意味上，所有细节都消失了。”^{[4](P98～99)}

按我的理解，弗雷格在这里所说的“意味”，其实指的就只是对命题的“真假断定本身”，即命题有无所指的标志(这仅只是命题的外延值而并不是命题的外延即判断)，此标志是命题思想和所指对象发生联系的中介。因为弗雷格接着说“我们绝不能只考虑句子的意味，但是纯思想也不能提供认识，而只有思想与其意味，即其真值一起才能提供认识。判断可以理解为从思想到其真值的推进。”^{[4](P98～99)}

其实，当涉及主谓描述词串之内涵的辩证否定演算(～)真正出现之后，“句子的意味(外延值)就是它的真值”这一判断的真正价值就显示出来了。因为，句子的外延值其实就是对命题思想之有无所指的真假断定，它并不就是句子的外延即判断本身。判断仅只是对应着句子的有无所指，但有无所指本身并不就是句子的所指。句子的外延演算只能是对判断的演算，它应该是“既对命题思想又对命题真值进行的演算”，而不能仅仅是对命题的真值进行演算。比如逻辑否定演算( )就是“仅只针对命题的逻辑思想即量词与系词并且对命题的真值词的演算”(其演算结果真值一定会发生变化)。

与上述句子的外延否定演算( )相对应对称，句子的内涵否定演算(～)只能是对命题思想的演算，它应该是“仅只针对命题的描述思想即主词串且谓词串但并不对命题的真值词的演算(其演算结果真值一定不发生变化)。很明显，对所指的事情是不能演算的，能演算的只可能是能够代表所指事情的句子的外延的演算，即判断的演算。不管是对判断中所有逻辑词的否定演算( )，还是对判断中所有描述词的否定演算(～)，其演算结果也只能是判断！

上述1.至8.所言的指意式本身(Ψ)以及其所承载所表示的所指( )、名称( )、描述( )、意谓( )、形式( )这5者，其“从所指到能指”的进化顺序关系是：

，

其“从能指到所指”的还原顺序关系是：

．

这都可用图1一一显示如下：

 

图１:指意式的三层次及其进化与还原顺序关系

 

图1中， 表示指意式 的符号形式(比如‘人’这个字符或声音)； 表示指意式 的所指(如人这个客观对象域)； 表示指意式 的外延意义，它就是 之对象域的反映(如人这个类集名称)； 表示指意式 的内涵意义，它就是 之功能性的反映(如人的性质)； 表示指意式 的中性意义，它就是目前数理逻辑的通常表示——严格地说，它既是外延性的又是内涵性的(个体词项是外延性的，而谓词词项是内涵性的)；另外，分别接近所指 与能指 之两端项的， 可以理解为是所指性、外观性、形象性的“言外之意( )”，它是“外延（集合－真值）逻辑”演算的基础，而 可以理解为是能指性、内省性、抽象性的“言内之意( )”，它是“内涵（信息－词串）逻辑”演算的基础；至于处于中间项的 ，则可表示为指意式 的通常“意义”(纯属精神性的东西—— 是联系能指符号 与所指对象 而成为一个指意式整体的中介项)，它是对 、 、 三者不加区分的混合意义。可以说，除了指意式 本身的能指形式 及其所指本身 这两端项之外，处于中间项位置的 是 的纯阳性意义(外延)， 是 的中性意义， 是 的纯阴性意义(内涵)，至于综合意义本身的 ，则是 的太极意义(当未经过逻辑分析之时)或太和意义(当经过逻辑分析之后三分出了“ － － ”的意义之时)。

这里，笔者针对性质命题的外延逻辑否定演算和性质命题的内涵描述否定演算，以说明其间的根本区别到底是什么？

经典数理逻辑是外延性的数理逻辑。外延数理逻辑关于原子命题之内的主谓词项间的集合关系解释，以及原子命题之间的真值关系解释，皆可在性质命题 (全称肯定)、 (全称否定)、 (特称否定)、 (特称肯定)中得到比较完全的体现。在 、 、 、 皆真的情况下，性质命题之非空主项 ( Φ)和非空谓项 ( Φ)间的包含于关系( )，还有个体域中的元素x与其类 或类 间的属于关系( )等外延逻辑关系，皆是抽象布尔代数模式(涉及布尔加“＋”、布尔乘“·”以及布尔补“ ”等三种基本演算)在集合代数模型(关于类的并 、交 、绝对差－的演算)、逻辑代数模型(关于真值的析取∨、合取∧、逻辑否定 的演算)中的具体体现，而此种种具体的布尔代数演算模型，从实质上讲皆与抽象布尔代数的演算模式是完全一致的。

当性质命题 、 、 、 皆真时，笔者将主谓变项 、 、 等代表实词词项间的集合关系及其相应命题间在皆成真基础上的等价关系( <,/v:imagedata>)，用只有5种不同类型的欧拉图一一形象地显示如下(关于这，请参看逻辑方阵 间的真值对当关系)。

全称肯定命题 ＝ ：

全称否定命题 ＝ ：

⊈

特称否定命题 ＝ ：

⊈

特称肯定命题 ＝ ：

上述第1等价式皆是传统形式逻辑的性质命题形式(它就是自然语言逻辑的内涵语义，其后括号内的是主项与谓项间的外延关系解释)，第2等价式皆是经典一阶谓词逻辑的性质命题形式(它就是经典逻辑的函项语义)，第3等价式皆是集合论的性质命题形式(它就是布尔逻辑的外延语义)。显然，对应于相应的欧拉图解，第1等价式与第3等价式是很直观形象的。其中第1等价式最简捷明了，而第3等价式最精确严格。要正确理解第2等价式，可结合相应的欧拉图示用第3等价式来作直观的理解。

很明显，对上述第1等价式和第3等价式的理解，都不可能否定主项 与谓项P的非空设定(即 Φ且 Φ)，其中 可以等于 。否则，我们就不可能用欧拉图的并、交、差演算来确定或证明性质命题 、 、 、 的真值及其相互间的真值对当关系。

上述集合论的和真值的解释，就是性质命题的外延解释。此外延解释对经典逻辑的非演算子( )而言，其逻辑否定( )皆不否定主谓实词词项或词串 、 、 本身的内涵意义，而仅只否定这些主谓实词词项或词串在命题中的外延是否周延。这里主词 在性质命题主谓外延关系中的周延性特征用全称量词“ ”表示，其非周延性特征用特称量词“ ”表示；由于是对各种不同性质命题皆真情况下的总体考虑(可参看 、 、 、 的上述欧拉图示),谓词 在命题中的周延性特征可用否定系词“ ”来表示(因为由“ ”就能断言 或 的外延皆不包含于 的所有外延之中，由此 是周延的或完全的)，其非周延性特征则可用肯定系词“ ”表示(因为由“ ”并不能断言 或 的外延皆包含于 的所有外延之中，由此 是不周延的或不完全的)。

因此可以说：在性质命题中主项 是否周延，这完全是由量词矛盾( 或 )决定的，而谓项 是否周延，也完全是由系词矛盾( 或 )决定的。至于主项 本身和谓项 本身的外延意义，在不同性质命题间的相互转换中，其实并未发生任何实质性的变化。而笔者所提出的反演算子(～)，却反其道而行之，其辩证否定(～)皆要否定主谓实词词项或词串 (如摹状词)、 、 本身的内涵意义，而根本不否定在性质命题中由量词矛盾( 或 )和系词矛盾( 或 )所分别决定的主谓实词词项的周延性问题。由于反演算子(～)的演算特征(这会导致主项词串对偶且谓项词串对偶)与非演算子( )的演算特征(这会导致主项是否周延对偶且谓项是否周延对偶)根本就不相同甚至完全相反，因此布尔代数的外延否定演算规律根本就不能套用于辩证逻辑的内涵否定演算规律之中。反演算子(～)的否定演算规律仅只是涉及主谓实词词项或词串 、 、 及其与之相对偶的 、 、 本身的内涵意义，至于所述 、 、 (或 、 、 )词项或词串的外延在整个性质命题中是否周延，则皆不在内涵逻辑的视野之内。

外延逻辑是单一性的，其非演算子( )仅只是对原子命题之内同一主项且同一谓项是否周延对偶进行演算，以及对原子命题之间的真值对偶关系进行演算(由命题的主谓词项之外延是否周延的对偶关系所确定的外延值演算)。与此相对，内涵逻辑是双联性的，它要求在描述内涵相反的两对偶命题间进行相反主项对偶且相反谓项对偶之词串意义的内涵演算，而反演算子(～)正是对这种辩证否定之实质或精髓的逻辑实现。由于内涵性实词词串对偶演算或对称演算仅只涉及到主谓实词词串的相反内涵意义，因此它与上述外延性的周延对偶演算与真值对偶演算是完全不相同的。

辩证逻辑的反演算(～)是一种全新的逻辑演算，如果智能计算机要真实地而不是虚假地模拟这种对主谓实词词串的内涵反称演算，那么它就不能利用已经在计算机中充分实现了的布尔代数的一般演算规律，而只能采用一种全新的、在计算机中尚未实施的，同样也是能够充分实现对偶主项且对偶谓项之实词词串间相反内涵意义的演算——对主谓实词串进行反演的程序语言的演算(可以逐一对 个 长度词串中的每一个词项都进行反称演算)，即对偶性的能够负载着新知识的内涵反称演算(～)。

上面，笔者以性质判断为例，说明了外延性的形式逻辑对 与 间几何化的集合关系及其非演算研究——对外延逻辑的形式化而言，走到这一步已经是“山穷水尽疑无路”了！后又说明，内涵性的辩证逻辑对 与 和 与 间代数化的信息关系及其反演算研究——对内涵逻辑的形式化而言，走到这一步又将是“柳暗花明又一村”了！

图形化的外延形式逻辑(Logic)是刻划“断言矛盾”的，它所涉及的仅只是数理语言形态的“有限逻辑形式词”的有无是非矛盾，即形式矛盾；而信息化的内涵辩证逻辑(Logos)是刻划“所指矛盾”的，它所涉及的仅只是自然语言形态的“无限描述内容词”的阴阳正反矛盾，即内容矛盾。由于此两种逻辑所刻划的矛盾对象根本就不相同——外延性的形式逻辑的形式化，仅只是针对正反主谓词串之断定矛盾的形式化；内涵性的辩证逻辑的形式化，仅只是针对正反主谓词串之描述矛盾的形式化——由此引出：辩证逻辑仅只是对“比特”信息知识串本身的内涵反演算(～)，而不是对此比特信息知识串的外延非演算( )，形式逻辑仅只是对“比特”信息知识串的外延非演算( )，而不是对此比特信息知识串本身的内涵反演算（～）。

由上述分析可知：逻辑实证论或逻辑经验论产生于西方经典数理逻辑成熟之际是有理由的。因为这种外延性的数理逻辑并不涉及主谓实词词项或实词词串间在内涵能指上的相反互蕴关系。这也就是说，西方经典数理逻辑仅仅涉及到主谓实词词项或实词词串在外延所指上皆必须保持自身的同一关系不变，由此，外延数理逻辑必然要求主谓实词词项 、 、 必须是非空的、是要有经验实证意义的(因为这直接就是针对所指的)，并且其本身的外延意义要一直保持同一不变。在此情况之下，命题主谓实词词项或词串不变外延间的集合演算关系及其相应命题间的真值演算关系才皆是能够用确定的逻辑词项表示的逻辑关系。这在关于性质命题的逻辑方阵 中已经体现得相当明显。而这，正是逻辑实证论或逻辑经验论哲学思想的理论渊源！

而作为辩证逻辑的内涵逻辑，比如黑格尔的辩证逻辑，因为它根本就不涉及上述一系列实证性的外延逻辑关系，因此皆被西方的逻辑实证论者或逻辑经验论者将其视为是“形而上学”问题而遭拒斥。其实，作为内涵逻辑的辩证逻辑，它虽然不涉及经典逻辑所研究的外延逻辑关系，但它却研究了涉及现实世界中更重要的、更有实用价值的内涵逻辑关系(这种逻辑并不排除外延逻辑仅仅只考虑主谓实词项或实词串之外延间的关系，但它还必须充分考虑主项外延之外的时间、空间及其条件的连续值关系)，即关于正确反映变化世界之事态及其情况的逻辑关系——仅仅由相反主谓实词词串所构成的相反描述命题间必然相互蕴涵的逻辑关系。而这正是逻辑实证论者或逻辑经验论者们尚未明确意识到的“形而上学”问题！正是这种思想上的盲区，导致西方逻辑学家和哲学家们轻易地否定了另一种更加重要的逻辑关系——含有时间、空间、条件之连续值变化的，反映了客观对象运动变化本来面目的逻辑关系。其实，这种能够反映出所指对象之环境条件及其时间、空间连续值变化的逻辑关系，也是具有实证性的！

笔者将两千多年来一直流行于中华大地的、仅仅涉及主谓描述词串内涵的命题对称化、对偶化和数理逻辑化，并用《易经》的诸多卦爻象数的变换(含有 个 ,的以“0”或“1”变项来代表不同的种种实词词串的反变换)，将其数理演算关系一一揭示出来，从而形成辩证逻辑所特有的反演对称推断方法(～)，力图使一直被西方逻辑学界斥之为“形而上学”问题的辩证逻辑和辩证哲学，还原为一种真正能够实证化、经验化和操作化的数理辩证逻辑。

将东方更偏重于能指性的内涵逻辑演算(反演算～)与西方更偏重于所指性的外延逻辑演算(非演算 )自觉结合起来，从而形成未来智能计算机在创新知识方面的对称、对偶演算，这就是作为知识经济时代的21世纪将要出现的呈合题形态的现代正反数理逻辑演算，即莱布尼茨所真正追求的“发现逻辑”、“创新逻辑”的逻辑演算！

在继承了布尔－康托尔纯外延性的数理逻辑思路(其系词“是”的逻辑意义为“外延包含于”( )或“外延属于”( ))和弗雷格－罗素兼含主词外延性和谓词内涵性之意的函数逻辑思路(其系词“是”或“有”可省略，因外延关系“ 或 ”与相应内涵关系“≽或⋗”的交集为空集“Φ”)基础上，笔者将沿着亚里士多德－莱布尼茨纯内涵性的语言逻辑思路(其系词“是”的逻辑意义为“内涵多于”(≽)或“内涵远多于”(⋗))继续前进，以构造出更接近于自然语言思维的正反数理逻辑，并由此去逐步实现莱布尼茨将自然语言逻辑形式化、演算化的最终哲学理想！

于此，有必要先规定出内涵相同或相反词串关系的纯形式语言。

 

三、内涵相同和相反词串关系的纯形式语言

 

抽象地说：语言是按照一定规则排列出的有序词串的集合。例如，汉语的词组或语句就是由汉语单词按照汉语词法、句法规则排列成的一列有意义的有序词串，这些词串的全体就是汉语言这个集合。

本文以自然语言的或逻辑形式语言的所有词项(既包括自然语言的实词和虚词两大类，也包括逻辑形式语言的描述词和逻辑词两大类)和一些专用符号(作为简写的命题变元符号，还有复合命题的逻辑结构符号，如大、中、小括号、逗号等)所组成的具有意义的词串集合作为背境知识，现仅只从纯形式语言的角度，揭示出相同或相反词串X_iⁿ和Y_iⁿ间在内涵关系上的相同、相反，甚至相似、相异的纯形式判定引理。

之所以要从纯形式角度提出相同、相反词串的纯形式判定引理，一方面，是因为任何表示相同、相反、相异、相似关系式的有序词串 与 间的幂指数n(以幂指数表示词串之长度)必须是相同的。若没有此相同特点，则此两词串及其对应符号间就不可能从纯形式角度判定出其存在的相同或相反甚至相异或相似的关系了。

另方面，众所周知，经典逻辑的任何词项或公式的外延均能由其内涵唯一确定，反之，经典逻辑的任何词项或公式的内涵并不能由其外延唯一确定。因此，从内涵角度入手研究逻辑也是有确定性的。而有序词串 和 间在内涵上的所谓相同或相反，是有其形式特征的，若舍弃 和 间在幂指数上相同及其对应词项间的相同或相反这一必要的形式条件，那末论其在内涵上的相同或相反甚至相异或相似也就无所依据了。

正反数理逻辑属内涵逻辑，它的推理就是建立在内涵相同和相反关系基础上的，据此，还可以再将其推理扩充为在内涵上相异和相似关系的基础之上。如果我们一旦抓住构成任何相同或相反或相异或相似关系式之形式的依据──这可由内涵相同或相反词串的纯形式判定引理及其推广来判定，就等于抓住了深化现代数理逻辑并将其由外延性正统数理逻辑扩展为内涵性正反数理逻辑的根本性问题。而什么是外延逻辑，什么是内涵逻辑？这里，笔者引用卡尔纳普曾经定义过的外延逻辑和内涵逻辑作如下说明：

语义系统S是外延的＝_df在S中的每一句子是外延的；

语义系统S是内涵的＝_df在S中的每个句子，或是外延的或是内涵的，且至少有一个是内涵的。^[1](P462)

此后一定义说明：语义系统S中若出现了内涵语句，则此系统就是内涵系统，此系统包括外延性的语句在内。本文的研究属内涵语义系统的研究。

必须在此强调，若我们一旦能够阐发清楚相同特别相反关系式在内涵上的形式判定方法，即相同和相反有序词串的纯形式判定引理，则必将对深入研究正反数理逻辑元语言形式系统中的种种逻辑哲学问题和对象语言形式系统中的种种哲学逻辑问题，以及如何具体实施人工智能机(内涵机)的反演知识推理，都具有重大的理论价值和科技价值。

有必要说明长度为n的有序符号因子串 和 的位值制标示法。这里， 和 就是以下角标来区分其在 和 内不同符号因子的，即使是同一符号因子，因它所处的位置不同，其意义也是不尽相同的。这正如同一数码(0，1，2，…，9)在十进位值制记数法中由于处于不同的位置其意义也是不同的一样。明确这一点，对我们以后准确灵活地运用内涵符号因子串 和 是有意义的。可以用内涵标记符“ ”将 和 间的内涵意义标示出来。本文先考虑有序符号因子串 和 的内涵相同和相反纯形式判定引理，在此基础上再扩大论域，将其推广为内涵相异和相似的纯形式判定引理。

笔者先定义出长度为n的内涵有序符号因子串 和 (1≤i≤n)：

＝_df … ， ＝_df …

设内涵有序词串 或 内的对应符号因子 和 间存在着如下的关系：

(a)( ＝ )＝_df( O＝ O∨ I＝ I)

(b)( ∝ )＝_df( O∝ I∨ I∝ O)

(c) ( ＝ )＝( ∝ )

(d) ( ∝ )＝( ＝ )

(e) ≠ ， ≠

(f)( ) ≠ ( )，( ) ≠ ( )

对(a)至(f)，可作如下解释：

1.由定义 ， ＝ O， I知，内涵有序符号因子串 和 之内的对应符号因子 和 只能在自然语言中的正反对偶词库中取值(这里，正反对偶值 O和 I可分别代表自然语言或逻辑符号语言中任意一组相反内涵的对偶词)。由此 和 之间只可能存在(a)、(b)所示的两种关系，即： ＝ 或取值 O＝ O或取值 I＝ I； ∝ 或取值 O∝ I或取值 I∝ O。此即(a)、(b)所显示的意义。

2.对同一组内涵词 和 ，它们要么取内涵相同关系 ＝ ，要么取内涵相反关系 ∝ ，此两种关系之间是不可兼的逻辑否定关系： ( ＝ )＝( ∝ )， ( ∝ )＝( ＝ )。此即(c)、(d)所显示的意义。

3.内涵符号因子串 或 ( 或 )各自两两间是有序的链接关系，它们既不是代数中的乘法运算，也不是集合中的交运算或逻辑中的合取运算——因为交换律和结合律在此有序链接词串中皆失效，此即(e)、(f)所显示的意义。

 

四、内涵相同或相反词串的纯形式判定引理

 

在证明内涵相同或相反词串的纯形式判定引理之前，有必要对命题真值互蕴模态函数表与在者在值互蕴模态函数表作一同构性的比较：

 

 

表1:命题真值互蕴模态函数表表2：在者在值互蕴模态函数表

 

由表1知：(pt≡qt)∨(pf≡qf)＝(p≡q)＝□t(p q)。由此命题p与q间的真值恒等关系(p≡q)即命题p与q间的必互蕴真(□t(p q))；反之，命题p与q间的必互蕴真(□t(p q))即命题p与q间的真值恒等关系(p≡q)。简言之：真值恒等的即必互蕴真；必互蕴真的即真值恒等。^[2](P31)

由表2知：( E!≡ E!)∨( ¬E!≡ ¬E!)＝( ≡ )＝□E!( )。由此在者 与 间的在值恒等关系( ≡ )即在者 与 间的必互蕴存在(□E!( ))；反之，在者 与 间的必互蕴存在(□E!( ))即在者 与 间的在值恒等关系( ≡ )。简言之：在值恒等的即必互蕴存在；必互蕴存在的即在值恒等。

据于此，笔者先列出欲证明的呈对偶关系的内涵相同和相反词串的纯形式判定引理。

内涵相同词串的纯形式判定引理：⊢□[ ( ＝ ) ( ＝ )].

此式的意义是：对任意的内涵符号因子 和 ，如果它们皆对应相同，那么由它们所构成的内涵符号因子串 和 之相同关系必然成立(⊢□)，反之亦同。

内涵相反词串的纯形式判定引理：⊢□[ ( ∝ ) ( ∝ )].

此式的意义是：存在内涵符号因子 和 ，如果它们对应相反(当然，其它符号因子 和 皆对应相同)，那么由它们所构成的内涵符号因子串 和 之相反关系必然成立(⊢□)，反之亦同。

1.先证内涵相同词串的纯形式判定引理。可以将该引理左边式子作如下等值变换：

∵ ( ＝ )

≡[( X₁＝ Y₁)∧( X₂＝ Y₂)…∧( X_n＝ Y_n)]

≡[( X₁ X₂＝ Y₁ Y₂)∧( X₃＝ Y₃)…∧( X_n＝ Y_n)]

≡[( X₁ X₂… X_n-1＝ Y₁ Y₂… Y_n-1)∧( X_n＝ Y_n)]

≡( X₁ X₂… X_n-1 X_n＝ Y₁ Y₂… Y_n-1 Y_n)

≡( ＝ ) (依据 和 的定义置换得)

∴ ( ＝ )≡( ＝ )．

因“真值恒等的即必互蕴真”，由此得证内涵相同词串的纯形式判定引理：

⊢□[ ( ＝ ) ( ＝ )]．

据此，若 X₁＝ Y₁且 X₂＝ Y₂为真时，则由它们链接而成的有序词串 X₁ X₂＝ Y₁ Y₂也一定是真的，即：⊢□[( X₁＝ Y₁)( X₂＝ Y₂) ( X_i²＝ Y_i²)].

反之，若由后者的内涵相同为真，则必可推出前两者均对应有内涵相同也为真，即：

⊢□[( X_i²＝ Y_i²) ( X₁＝ Y₁)( X₂＝ Y₂)].

如从漂亮( X₁)女性( X₂)与漂亮( Y₁)女性( Y₂)之对应词项的内涵相同为真，必能推出漂亮女性( X_i²)和漂亮女性( Y_i²)两词串间的内涵相同关系也为真，反之亦然。上两式之合就是当n＝2时的内涵相同词串的纯形式判定引理所判定的相同关系。

2.再证内涵相反词串的纯形式判定引理。现先证 ( ＝ )＝( ∝ )。

设 X₁ X₂… X_n与 Y₁ Y₂… Y_n间各对应的相同变项关系为 ＝ ，各对应的相反变项关系为 ∝ 。这里j≠k且1≤j，k≤n。

依据相同者必存在互蕴公理知：⊢[( ＝ ) □( E! E!)]，

依据相反者必存在互蕴公理知：⊢[( ∝ ) □( E! E!)]．^{[3](P34～36)}

由此 与 间既可表示相同关系( ＝ )，又可表示相反关系( ∝ )，但无论 与 间是相同关系还是相反关系，它们皆是必存在互蕴关系□( )——此式亦可简示为□ ( )，因为 对逻辑关系式( )中异质的在者项的断言都是可以分配的^{[3](P32～34)}。由此，以下诸式皆成立(1≤i≤n)：

□ ( X₁ Y₁)，□ ( X₂ Y₂)，…，□ ( X_n Y_n)(1)

因“必互蕴存在的即在值恒等”，即：□ ( X_i Y_i)＝( X_i≡ Y_i)，

故(1)的诸式皆可变换为：

( X₁≡ Y₁)，( X₂≡ Y₂)，…，( X_n≡ Y_n)(2)

由此链接(2)的诸式，得其链接的在值恒等式：

( X₁≡ Y₁)( X₂≡ Y₂)…( X_n≡ Y_n)

＝( X₁ <,v:imagedata src="file:///C:\DOCUME~1\Owner\LOCALS~1\Temp\msohtml1\01\clip_image270.wmz" o:title="">X₂≡ Y₁ Y₂)( X₃≡ Y₃)…( X_n≡ Y_n)

＝( X₁ X₂… X_n-1≡ Y₁ Y₂… Y_n-1)( X_n≡ Y_n)

＝( X₁ X₂… X_n-1 X_n≡ Y₁ Y₂… Y_n-1 Y_n)

＝( ≡ ) (依据 和 的定义置换得)

反之，“在值恒等的即必互蕴存在”，由此得：

( ≡ )＝□ ( )(3)

依据相同公理和相反公理，后件是必存在互蕴的，其前件只有两种可能：或是相同者或是相反者，除此之外再也不可能找到导致必互蕴的前件了。由此后件是必存在互蕴的，其前件只可能在或( ＝ )或( ∝ )中选取其中之一，即：

( ＝ )∨( ∝ )．

而已经设定的 与 间既可表示相同的内涵因子( ＝ )，又可表示相反的内涵因子( ∝ )，因而(^∙ ∝^∙ )不是内涵因子全相同的 ( ＝ )＝( ＝ )，而只可能是有部份内涵因子相反，而其余的内涵因子皆相同的

( ∝ )＝( ∝ )。由此可逻辑否定( ＝ )而得( ∝ )，此即：

( ＝ )＝( ∝ )(4)

依据上述所证(4)式，就可再证内涵相反词串的纯形式判定引理。

由内涵相同词串的纯形式判定引理可知， ( ＝ )≡( ＝ )(必互蕴真的即真值恒等)，若再逻辑否定( )此式之两边，则得如下一系列等值式变换式：

[ ( ＝ )]≡ ( ＝ )

( ＝ )≡ ( ＝ )．

依据(c)的 ( ＝ )＝( ∝ )和(4)式的 ( ＝ )＝( ∝ )，可得： ( ∝ )≡( ∝ )．

因“真值恒等的即必互蕴真”，故内涵相反词串的纯形式判定引理得证：

⊢□[ ( ∝ ) ( ∝ )]．

此内涵相反词串的纯形式判定引理说明： ( ∝ )并不排除其余的相同内涵因子 ＝ ，由此 ∝ 即 X₁ X₂… X_n-1 X_n∝ Y₁ Y₂… Y_n-1 Y_n是可以含有相同内涵因子 ＝ 的，但即使是这样， X₁ X₂… X_n-1 X_n与 Y₁ Y₂… Y_n-1 Y_n间也仍然存在内涵相反的关系(∝)，即( ∝ )。

依据(4)式的( ∝ )和“相反者必存在互蕴”公理可知，如下数理公式必然成立：

⊢[( ∝ ) □( )]

此式所示，就是对一切内涵相反词串进行纯形式判定之后所得的必存在互蕴之结果，而一切内涵相反词串间的反演变换(～)，皆根源于此！

据此，若 X₁∝ Y₁或 X₂∝ Y₂为真时，则由它们链接而成的有序词串 X₁ X₂∝ Y₁ Y₂也一定是真的，即：⊢□[( X₁∝ Y₁)∨( X₂∝ Y₂) ( X_i²∝ Y_i²)].

反之，若由后者的内涵相反为真，则必可推出前两者有对应内涵相反也为真，即：

⊢□[( X_i²∝ Y_i²) ( X₁∝ Y₁)∨( X₂∝ Y₂)].

如从漂亮( X₁)女性( X₂)与漂亮( Y₁)男性( Y₂)、或从漂亮( X₁)女性( X₂)与丑陋( Y₁)女性( Y₂)、或从漂亮( X₁)女性( X₂)与丑陋( Y₁)男性( Y₂)等对应词项的内涵有相反为真，必能推出漂亮女性( X_i²)与漂亮男性( Y_i²)、或漂亮女性( X_i²)与丑陋女性( Y_i²)、或漂亮女性( X_i²)与丑陋男性( Y_i²)两词串间的内涵相反关系也为真，反之亦然。上两式之合就是当n＝2时的内涵相反词串的纯形式判定引理所判定的相反关系。

 

五、内涵相异或相似词串的纯形式判定引理

 

以上所证的思路，是在相同与相反的逻辑推理基础类型对偶关系集{＝，∝}基础上形成的。若再扩展对偶关系集{＝，∝}为推理基础类型的大全关系集，即{＝，∽，≠，∝}，则内涵相异和相似词串的纯形式判定引理也就不但可以引入而且可以得证。

这里，扩充后的大全关系集{＝，∽，≠，∝}间，又可增加如下的内涵关系：

(g) ( ＝ )＝( ≠ )*( ∝ )

(h) ( ∝ )＝( ∽ )*( ＝ )

对(g)和(h)，可作如下解释：

大全关系集{＝，∽，≠，∝}四者间的关系，可用框图2形象地表示如下：

图2：大全关系集{＝，∽，≠，∝}的外延组成关系

 

可以看出，图2所示整个大全关系集{＝，∽，≠，∝}的组成关系是：

相似关系(∽)的外延真包含( )相同关系(＝)，相似关系(∽)的内涵真少于( )相同关系(＝)，相似关系(∽)趋向的极限(*)是相同关系(＝)；相异关系(≠)的外延真包含( )相反关系(∝)，相异关系(≠)的内涵真少于( )相反关系(∝)，相异关系(≠)趋向的极限(*)是相反关系(∝)；逻辑否定( )相同关系(＝)就是相异关系(≠)，逻辑否定( )相反关系(∝)就是相似关系(∽)；相似关系(∽)与相异关系(≠)的交( )就是中间关系(∽ ≠)，相似关系(∽)与相异关系(≠)的并( )就是大全关系{＝，∽，≠，∝}。由此：

( ＝ )＝( ≠ )*( ∝ )，

( ∝ )＝( ∽ )*( ＝ )．

这里，笔者再列出呈对偶关系的内涵相异和相似词串的纯形式判定引理。

内涵相异词串的纯形式判定引理：⊢□[ ( ≠ ) ( ≠ )]．

此式的意义是：存在内涵符号因子 和 ，如果它们有对应相异(当然，其它符号因子 和 皆对应相同)，那么由它们所构成的内涵符号因子串 和 之相异关系必然成立(⊢□)，反之亦同。

内涵相似词串的纯形式判定引理：⊢□[ ( ∽ ) ( ∽ )]．

此式的意义是：对任意的内涵符号因子 和 如果它们皆对应相似(当然，相似符号因子 和 也可以是其极限值即相同)，那么由它们所构成的内涵符号因子串 和 之相似关系必然成立(⊢□)，反之亦同。

1.先证内涵相异词串的纯形式判定引理

依据内涵相同词串的纯形式判定引理⊢□[ ( ＝ ) ( ＝ )]可知，其真值恒等式是 ( ＝ )≡( ＝ )(必互蕴真的即真值恒等)，若再对其两边同施逻辑否定( )，则得：

[ ( ＝ )]≡ ( ＝ )

　　 ( ＝ )≡ ( ＝ )，

　　( ≠ )≡( ≠ )．(相同关系的逻辑否定是相异)

因“真值恒等的即必互蕴真”，故内涵相异词串的纯形式判定引理得证，即：

⊢□ ( ≠ ) ( ≠ )．

此引理中的 ≠ 可以是 ∝ ，因为相异关系 ≠ 趋向的极限(*)就是相反关系 ∝ 。由此，若有 X₁≠ Y₁或 X₂≠ Y₂为真时，则由它们链接而成的有序词串 X_i²≠ Y_i²也一定是真的，即：⊢□[( X₁≠ Y₁)∨( X₂≠ Y₂) ( X_i²≠ Y_i²)]。

2.再证内涵相似词串的纯形式判定引理

依据内涵相反词串的纯形式判定引理⊢□[ ( ∝ ) ( ∝ )]可知，其真值恒等式是 ( ∝ )≡( ∝ )(必互蕴真的即真值恒等)，若再对其两边同施逻辑否定( )，则得：

[ ( ∝ )]≡ ( ∝ )，

( ∝ )≡ ( ∝ )，

　( ∽ )≡( ∽ )．(相反关系的逻辑否定是相似)

因“真值恒等的即必互蕴真”，故内涵相似词串的纯形式判定引理得证，即：

⊢□[ ( ∽ ) ( ∽ )]．

此引理中的 ∽ 可以是 ＝ ，因为相似关系 ∽ 趋向的极限(*)就是相同关系 ＝ 。由此，若 X₁∽ Y₁且 X₂∽ Y₂为真时，则由它们链接而成的有序词串 X_i²∽ Y_i²也一定是真的，即：⊢□[( X₁∽ Y₁)∧( X₂∽ Y₂) ( X_i²∽ Y_i²)]。

 

六、关系词串间外延与内涵的相互转换定律

 

经验性模型与纯数学模式间的相互吻合、一致，是鉴定科学理论的最高权威。在获得了经验性认识的基础上，现可超越经验而纯形式地研究逻辑推理基础类型的相同、相反、相异、相似关系词串之内涵与外延间的转换定律了。

为了更明晰更深入地了解外延逻辑推理之内涵结果与内涵逻辑推理之外延结果的内在区别与联系，可以将所述相同或相反和相似或相异词串所构成的逻辑关系式，其外延向内涵的转换定律和内涵向外延的转换定律间所呈现出的镜像对称互补关系新理论，再概括为图3所示的定量化模式：^[4](P95)

图3：相同或相反词串之外延与内涵间的相互转换定律

 

还可以对图3作更大的开拓、推广，并概括为图4所示的定量化模式：

图4：相似或相异词串之外延与内涵间的相互转换定律

 

图3图4所揭示的相同、相反、相似、相异词串 与 ，其在外延与内涵间的蕴涵关系，可用同构转换定律与异构转换定律表示如下。

1.四大关系词串之外延与内涵间的同构转换定律：

〖 OO〗⊨ [( ＝ ) □( ＝ )]，

〖 OI〗⊨ [( ∽ ) □( ∽ )]，

〖 IO〗⊨ [( ≠ ) □( ≠ )]，

〖 II〗⊨ [( ∝ ) □( ∝ )]；

2.四大关系词串之外延与内涵间的异构转换定律：

〖 OO〗⊨ {( ＝ ) ◇[( ＝ )

∨( ∝ )∨ ( ＝ ) ( ∝ )]}，

〖 OI〗⊨ {( ∽ ) ◇[( ∽ )

∨( ≠^∙ )∨ ( ∽ ) ( ≠ )]}，

〖 IO〗⊨ {( ≠ ) ◇[( ≠ )

∨( ∽ )∨ ( ≠ ) ( ∽ )]}，

〖 II〗⊨ {( ∝ ) ◇[( ∝ )

∨( ＝ )∨ ( ∝ ) ( ＝ )]}．

显然，由图3可知：从外延相同词串( ＝ )可能推出内涵相同词串( ＝ )或相反词串( ∝ )甚至外延相似词串( ∽ )；从内涵相反词串( ∝ )可能推出外延相同词串( ＝ )或相反词串( ∝ )甚至内涵相异词串( ≠ )。

同理，由图4可知：从外延相似词串( ∽ )可能推出内涵相似词串( ∽ )或相异词串( ≠ )甚至外延相同词串( ＝ )；从内涵相异词串( ≠ )可能推出外延相似词串( ∽ )或相异词串( ≠ )甚至内涵相反词串( ∝ )。

由此，为真(⊢)可能(◇)互蕴( )的外延相同词串( ＝ )与相似词串( ∝ )——⊢◇[( ＝ ) ( ∽ )]，( ＝ ) ( ∽ )——就是内涵词串的可能相同( ＝ )或可能相似( ∽ )或可能相异( ≠ )或可能相反( ∝ )连续统[ ＝ , ∝ ]的取值。

同理，为真(⊢)可能(◇)互蕴( )的内涵相反词串( ∝ )与相异词串( ≠ )——⊢◇[( ∝ ) ( ≠ )]，( ∝ )≻( ≠ )——就是外延词串的可能相同( ＝ )或可能相似( ∽ )或可能相异( ≠ )或可能相反( ∝ )连续统[ ＝ , ∝ ]的取值。

由此，无论是从外延性的相同( ＝ )或 相似( ∽ )角度看与其呈非同构性的内涵连续统[ ＝ , ∝ ]的取值，还是从内涵性的相反( ∝ )或 相异( ≠ )角度看与其呈非同构性的外延连续统[ ＝ , ∝ ]的取值，都具有了完全性！

上述两大类转换定律，特别是笔者最后强调的异构性的四大转换定律〖 OO〗与〖 OI〗、〖 IO〗与〖 II〗，是我们研究外延形式逻辑和内涵辩证逻辑不可不认识的定律！

 

七、对关系词串间同构定律异构定律的验证

 

可以用实证例子，来验证相同、相似、相异、相反关系词串之外延与内涵间的同构或异构转换定律。

1.从量的角度看相同词串间的同构或异构转换定律

相同内涵的同构外延定律：⊨ [( ＝ ) □( ＝ )]，

相同外延的异构内涵定律：⊨ {( ＝ )

◇( ＝ )∨◇( ∝ )∨◇[ ( ＝ ) ( ∝ )]}．

对上述定律，在主谓断定词相同的前提下，可举出以下命题例子加以验证：

(1)⊢□(晨星是早上最亮的星 晨星是早上最亮的星)，

(2)⊢□(晨星是早上最亮的星 暮星是晚上最亮的星)，

(3)⊢□(鲁迅是作家 鲁迅是作家)，

(4)⊢□(鲁迅是作家 《阿Q》正传的作者是作家)，

(5)⊢□(2Í3是6 -2Í-3是6)，

(6)⊢□(2Í3是3＋3 2＋4是1＋5)，

(7)⊢□(上帝是精神性的实体 上帝是精神性的实体)，

(8)⊢□(上帝是精神性的实体 上帝是非物质性的实体)，……

相同内涵的同构外延：因(1)(3)(7)的主谓词串之内涵皆是相同的( ＝ )，故其主谓词串之外延也皆是相同的( ＝ )，由此，其外延相同主谓命题的真值，必然是相同的。

相同外延的异构内涵：(1)至(8)的主谓词串之外延皆是相同的( ＝^∘ )，故其外延相同主谓命题的真值必然相同。而其主谓词串之内涵可是相同的( ＝ )，如(1)(3)(7)的主谓项、(4)(5)的谓项、(8)的主项；可是相反的( ∝ )，如(2)的主谓项、(5)的主项；还可是既不相同又不相反的 ( ＝ ) ( ∝ )，如(4)的主项(其词串的长度不一样)、(6)的主谓项、(8)的谓项(其词串的长度也不一样)。

2.从量的角度看相似词串(它可含相同词串)间的同构或异构转换定律

相似内涵的同构外延定律：⊨ [( ∽ ) □( ∽ )]，

相似外延的异构内涵定律：⊨ {( ∽ )

◇( ∽ )∨◇( ≠ )∨◇[ ( ∽ ) ( ≠ )]}．

对上述定律，在主谓断定词相同的前提下，可举出以下命题例子加以验证：

(1)⊢◇(太阳系有围绕太阳旋转的行星 原子系有围绕原子核旋转的电子)，

(2)⊢◇(孩子是联系父母亲的纽带 球类是联系甲乙队的纽带)，

(3)⊢◇(君臣关系是主从关系 夫妻关系是主从关系)，(在封建社会)

(4)⊢◇(父子关系是主从关系 师生关系是主从关系)，(在封建社会)

(5)⊢◇(沉舟侧畔千帆，过 病树前头万木，春)，

(6)⊢◇(蝉噪(→)林愈静 乌呜(→)山更幽)，

(7)⊢◇(牛马要吃草 汽车要喝油)，

(8)⊢◇(“0-1”区间是[0，1] “＝-∝”区间是[＝，∝])，……

相似内涵的同构外延：因(1)(6)(8)的主谓词串之内涵皆是相似的( ∽ )，故其主谓词串之外延也是相似的( ∽ )，由此，其外延相似主谓命题的真值，可能是相同的。

相似外延的异构内涵：(1)至(8)的主谓词串之外延皆是相似的( ∽^∘ )，故其外延相似主谓命题的真值可能相同。而其主谓词串之内涵可是相似的( ∽^∙ )，如(1)(6)(8)的主谓项、(3)(4)的主项；可是相异的( ≠^∙ )，如(5)(7)的主谓项；还可是既不相似又不相异的 ( ∽^∙ ) ( ≠^∙ )，如(2)的主项不相似、(3)(4)的谓项不相异。

3.从量的角度看相异词串(它可含相反词串)间的同构或异构转换定律

相异外延的同构内涵定律：⊨ [( ≠ ) □( ≠ )]；

相异内涵的异构外延定律：⊨ {( ≠ )

◇( ≠ )∨◇( ∽ )∨◇[ ( ≠ ) ( ∽ )]}．

对上述定律，在主谓断定词相同的前提下，可举出以下命题例子加以验证：

(1)⊢◇(墙头芦苇，头重脚轻根底浅 山间竹笋，嘴尖皮厚腹中空)，

(2)⊢◇(人，往高处走 水，往低处流)，

(3)⊢◇(缀文者，情动而辞发 观文者，披文以入情)，

(4)⊢◇(入世者学孔孟 出世者学老庄)，

(5)⊢◇(两个黄鹂，鸣翠柳 一行白鹭，上青天)，

(6)⊢◇(非淡泊，无以明志 非宁静，无以致远)，

(7)⊢◇(春蚕，到死丝方尽 蜡炬，成灰泪始干)，

(8)⊢◇(风声雨声读书声，声声入耳 家事国事天下事，事事关心)，……

相异外延的同构内涵：因(1)(5)(8)的主谓词串之外延皆是相异的( ≠ )，故其主谓词串之内涵也必然是相异的( ≠ )，由此，其内涵相异主谓命题的真值，可能是相同的。

相异内涵的异构外延：(1)至(8)的主谓词串之内涵皆是相异的( ≠ )，故其内涵相异主谓命题的真值可能相同。而其主谓词串之外延可是相异的( ≠ )，如(1)(5)(8)的主谓项、(2)(7)的主项、(3)(4)的谓项；可是相似的( ∽ )，如(6)的主谓项、(7)的谓项；还可是既不相异又不相似的 ( ≠ ) ( ∽ )，如(2)的谓项相反(亦即内涵相反)、(3)(4)的主项相反(亦即内涵相反)。

4.从量的角度看相反词串间的同构或异构转换定律

相反外延的同构内涵定律：⊨ [( ∝^∘ ) □( ∝ )]，

相反内涵的异构外延定律：⊨ {(^∙ ∝ )

◇( ∝ )∨◇( ＝ )∨◇[ ( ∝ ) ( ＝ )]}．

对上述定律，在主谓断定词相同的前提下，可举出以下命题例子加以验证：

(1)⊢□(同性磁极是相互排斥的 异性磁极是相互吸引的)，

(2)⊢□(代数式的同号相乘除为正 代数式的异号相乘除为负)，

(3)⊢□(智者千虑必有一失 愚者千虑必有一得)，

(4)⊢□(柔弱者，生之徒 坚强者，死之徒)，

(5)⊢□(3＜5 -3＞-5)，(此二元有序主项相反且关系谓项相反^[5](P40))

(6)⊢□(早晨太阳是从东方升起 傍晚太阳是从西方落下)，

(7)⊢□(太极就是未展开的太和 太和就是已展开的太极)^[1](P40)，

(8)⊢□(形式逻辑的矛盾是显示主体的“断言-断定”矛盾

辩证逻辑的矛盾是反映客体的“所指-能指”矛盾)，……

相反外延的同构内涵：因(1)(2)(3)(4)(5)的主谓词串之外延皆是相反的( ∝ )，故其主谓词串之内涵也皆是相反的( ∝^∙ )，由此,其内涵相反主谓命题的真值，必然是相同的。

相反内涵的异构外延：(1)至(8)的主谓词串之内涵皆是相反的( ∝ )，故其内涵相反主谓命题的真值必然相同。而其主谓词串之外延可是相反的( ∝ )，如(1)(2)(3)(4)(5)的主谓项、(6)的谓项、(8)的主项(前者是主观矛盾，后者是客观矛盾)；可是相同的( ＝ )，如(6)的主项、(7)的主谓项；还可是既不相反又不相同的 ( ∝ ) ( ＝ )，如(8)的谓项(前者无实指外延后者有实指外延，故从外延上也无法比较其相反或相同)。

对上述关系词串间同构定律与异构定律的验证，可以作一整体上的评价。

中国古代大文论家刘勰在其关于文学创作的理论巨著《文心雕龙》中，对上述四种不同对子间的优劣难易问题，曾有过精辟的论述：“丽辞之体，凡有四对：言对为易，事对为难，反对为优，正对为劣。”^[6]

所谓“言对为易，事对为难”，是指“相异”对子和“相似”对子，前者易后者难；所谓“反对为优，正对为劣”，是指“相反”对子和“相同”对子，前者优后者劣。显然，若对此四大语句对子之修辞的难易优劣作比较，则：从外延角度取相同对子和相似对子虽有价值，但因反差小而效果劣操作难；从内涵角度取相异对子和相反对子更有价值，因为反差大而操作易效果优。由此，中国古代阴阳语句对子的实质是更偏重于相异对子和相反对子，而不是相同对子和相似对子，这真可谓“同则不继，和实生物”矣^[7]——中国古代阴阳哲学的这种深刻的内涵性的辩证逻辑思想，在刘勰的《文心雕龙》中也充分体现出来了！

 

八、构建两类逻辑推理演算技术的程序理论

 

还可以用大量关于词项间或公式间在外延意义与内涵意义上的相互转换关系，来验证图3、图4的镜像对称关系。它们是我们正确理解和把握逻辑推理中的诸多词串 和 间，在外延意义与内涵意义上的种种转换关系的总体模式，是不可不加以重视的！

显然，从图3、图4可以看出：对于词项间或公式间的外延与内涵的相互转换，其同构定律与异构定律已经揭示出了它们在逻辑推理中的价值是不一样的：同构定律贫乏简单，其外延与内涵间的转换是“一对应一”，异构定律丰富复杂，其外延与内涵间的转换是“一对应三”(三极对立统一)。从图3、图4还可以看出：

(1)广义形式逻辑( )的推理，是关于词串外延(集合)或句串外延(真值)的逻辑推理，其真正的价值，并不在于其“内涵的相同或相似”，而在于其“外延的相同或相似”，由此形成虽内涵各异，但其总体却具有“内涵三极对立统一完全性”的，关于外延相同或相似命题间的同真值互蕴的推理理论。正因为如此，我们必须紧紧抓住“外延的相同或相似”这一逻辑推理基础的核心问题，这才有可能搞清楚广义形式逻辑的外延推理理论。至于其“内涵的相同或相似”必然能同构地确立“外延的相同或相似”，这仅仅是个自然生成的问题，我们没有必要，也不可能从中发掘出关于“从内涵到外延”的更多逻辑推理意义来。

(2)广义辩证逻辑( )的推理，是关于词串内涵(概念)或句串内涵(思想)的逻辑推理，其真正的价值，并不在于其“外延的相反或相异”，而在于其“内涵的相反或相异”，由此形成虽外延各异，但其总体却具有“外延三极对立统一完全性”的，关于内涵相反或相异命题间的同真值互蕴的推理理论。正因为如此，我们必须紧紧抓住“内涵的相反或相异”这一逻辑推理基础的核心问题，这才有可能搞清楚广义辩证逻辑的内涵推理理论。至于其“外延的相反或相异”必然能同构地确立“内涵的相反或相异”，这仅仅是个自然生成的问题，我们没有必要，也不可能从中发掘出关于“从外延到内涵”的更多逻辑推理意义来。

如果我们把(1)的论断视为是：“由众多的正语词串，构成较少的正语句串,再由这些较少的正语句串,又构成更少的正推理串”，那么我们就可以把(2)的论断视为是：“由众多的反语词串，构成较少的反语句串,再由这些较少的反语句串,又构成更少的反推理串”。其(1)与(2)间，除相同概念之外，皆体现为或相反概念，或相反判断，或相反推理间的必互蕴( _£)关系。(1)与(2)间，就是内涵相反推理的实例。

其实，笔者在本文中所表现出的内涵相反推理，甚至多年来所写的所有论文，皆是由此类正反主谓内涵必互蕴推理构成的。这就是辩证逻辑所运用的，为其所独有的内涵相反必互蕴推理！如果数理辩证逻辑不能体现出这种形态的内涵相反推理，那么数理辩证逻辑还能有什么形态的内涵逻辑推理？

计算机所能进行的逻辑演算，就是智能机依据上述内涵推理的语音词串或字形词串，既能进行 个比特( )长度的 次递归的逻辑词串的非演算( )——对外延逻辑词串的程序演算，又能进行 个比特( )长度的 次递归的描述词串的反演算( )——对内涵描述词串的程序演算。虽然此两类不同质的语音词串或语形词串在语音流或文字流中时有交叉或镶嵌，但由于这是两类不同性质的程序演算系统——即只对 个逻辑词项的逻辑否定演算系统( )和只对 个描述词项的辩证否定演算系统( )，因此，这是可以使其互不干扰的，是能够对诸如上文的语音词串和语形词串进行纯形式的程序变换的，由此也就不可能形成将逻辑矛盾命题与辩证矛盾命题混为一谈的悖论形态的矛盾命题。这，就是智能计算机所能进行的，能够综合运用两种不同质的智能信息变换的逻辑演算系统——将数理形式逻辑的Logic演算( )系统和数理辩证逻辑的Logos演算( )系统综合统一(*)起来的，智能机所能进行的程序演算系统！

全面地揭示出相同、相反、相似、相异词串之互蕴推理的同构性定律和异构性定律，并自觉地将它们对称互补起来再进行更深广的研究，这才有可能对外延型形式逻辑的相同或相似的演绎推理、对内涵型辩证逻辑的相反或相异的演绎推理，有更深刻的认识和洞见。这对于构建完全且完善型的，更全面的关于广义形式逻辑( )和(*)广义辩证逻辑( )之推理的程序演算技术理论—— ( )* ( )——是不可不认识的！

 

【参考文献】

[1]王雨田主编.现代逻辑科学导引(上册)[C].朱水林.C₃:逻辑语义学[J].北京:中国人民大学出版社,1987.

[2]罗翊重.论蕴涵命题的模态意义——兼论逻辑真理不能完全独立于经验事实之外[J].昆明师专学报,2005,(3).

[3]罗翊重.正者与反者和存在或非在——对形式逻辑和辩证逻辑之根解析[J].昆明师专学报,2007,(2).

[4]王路译.弗雷格哲学论著选辑[M].北京:商务印书馆,1994.

[5]罗翊重.东西方矛盾观的形式演算(第2卷):正反数理逻辑概论[M].昆明:云南科技出版社,1998.

[6]刘勰.文心雕龙·丽辞[M].

[7]史伯.国语·郑语[M].

 

 

 

 

 

（原载何华灿主编《智能、信息与逻辑丛书（第二卷）——智能科学的逻辑基础研究》，西北工业大学出版社2010年6月。）